ඍජුකෝණාස්‍ර කාටිසියානු අක්ෂ පද්ධතිය
- තාත්වීක සංඛ්‍යාවක් ජ්‍යාමිතිකව නිරූපණය කිරීම සදහා සංඛ්‍යා රේඛාවක් යොදා ගත හැකි අතර ඒ අකාරයටම තලයක් මත ඇති ලක්ෂයක් අනන්‍යව නිරූපණය කිරීම සදහා එම තලය මත වූ එකිනෙකට ලම්භක සංඛ්‍යා රේඛා දෙකක් යොදා ගත හැකිය.
විවිධ ඛණ්ඩාංක පද්ධති
- කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධති
- ධ්‍රැවක ඛණ්ඩාංක පද්ධති
- ලක්ෂයක x ඛණ්ඩාංකය වනුයේ අචල ලක්ෂයක සිට(මුල ලක්ෂයේ සිට) එම ලක්ෂයට ඇති තිරස් දුරයි. එය පාටිකය ලෙස හදුන්වයි. අචල ලක්ෂයේ සිට ඇති සිරස් දුර කෝටිකය ලෙස හැදින්වේ. ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක පටිපාටිගත යුගලක් ලෙස දක්වන විට, මෙහි පළමුව පටිකයද දෙවනුව කෝටිකයද ලියනු ලැබේ.
දෙන ලද ලක්ෂ්‍ය දෙකක් යා කරන රේඛාවේ දිග
A(x1,y1) හා B(x2,y2) ලක්ෂ දෙක අතර දුර සොයමු.
ABC ත්‍රිකෝණයේ,
AC=\left|x_2-x_1\right|
BC=\left|y_2-y_1\right|
උදා: (01). \;A\equiv(1,6)\;B\equiv(1,-4)\;\text{සහ}\;C\equiv(-3,-2)\;\; වේ. මෙම ලක්ෂ සෘජුකෝණික ත්‍රිකෝණයක ශීර්ෂ වන බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}AB\;&=&\sqrt{(1-1)^2+\left[6-(-4)\right]^2}\\&=&10\end{array}
\begin{array}{rcl}BC\;&=&\sqrt{\left[1-(-3)\right]^2+\left[-4-(-2)\right]^2}\\&=&\sqrt{20}\\&=&2\sqrt5\end{array}
\begin{array}{rcl}AC\;&=&\sqrt{\left[1-(-3)\right]^2+\left[6-(-2)\right]^2}\\&=&\sqrt{80}\\&=&4\sqrt5\end{array}
\begin{array}{rcl}AC^2+BC^2&=&80+20\\&=&100\\AB^2&=&100\\AB^2&=&AC^2+BC^2\;\text{වේ.}\end{array}
\therefore\;A,B,C ලක්ෂ්‍ය ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක ශීර්ෂ වේ.
උදා: (02). යනු (2, 3), (-1, -2), (4, -5), (7, 0) ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ වේ. සමචතුරස්‍රයක් බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}AB\:\text{පාදයේ දිග}&=&\sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2}\\&=&\sqrt{34}\end{array}
\begin{array}{rcl}BC\;\:\text{පාදයේ දිග}&=&\sqrt{(-1-4)^2+\left[-2-(-5)\right]^2}\\&=&\sqrt{34}\end{array}
\begin{array}{rcl}CD\;\:\text{පාදයේ දිග}&=&\sqrt{(4-7)^2+\left(-5-0\right)^2}\\&=&\sqrt{34}\end{array}
\begin{array}{rcl}\therefore AD\;\text{දිග}\;&=&\sqrt{34}\;\text{වේ.}\end{array}
\therefore\;ABCD චතුරස්‍රයේ පාද සියල්ල සමාන වේ.
\begin{array}{rcl}AC\;\text{දිග}\;&=&\sqrt{(4-2)^2+(-5-3)^2}\\&=&\sqrt{68}\end{array}
\begin{array}{rcl}BD\;\text{දිග}\;&=&\sqrt{(-1-7)^2+(-2-0)^2}\\&=&\sqrt{68}\end{array}
\therefore\;චතුරස්‍රයේ විකර්ණ දෙකම සමාන වේ.\therefore\;වතුරස්‍රය සමවතුරස්‍රයක් වේ.
සරල රේඛා කණ්ඩයක් දෙන ලද අනුපාතයකට බෙදීම
- සරල රේඛා කණ්ඩයක් දෙන ලද අනුපාතයකට බෙදිය හැකි ආකාර දෙකකි.
- අභ්‍යන්තර බෙදීම
- බාහිර බෙදීම
රේඛාවක් දෙන ලද අනුපාතයකට අභ්‍යන්තර බෙදීම
සාධනය
ACD ත්‍රිකෝණය හා BCE ත්‍රීකෝණය සමරූපි ත්‍රීකෝණ වන බැවින්,
\begin{array}{l}\frac{AD}{CE}=\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{CB}\\\end{array}
\begin{array}{l}\frac{x_c-x_1}{x_2-x_c}=\frac{\displaystyle y_c-y_1}{\displaystyle y_2-y_c}=\frac mn\\\end{array}
\begin{array}{l}\frac{x_c-x_1}{x_2-x_c}=\frac mn\\\end{array}
n\left(x_c-x_1\right)\;=\;m(x_2-x_c)
x_c(m+n)\;=\;nx_1+mx_2
x_c\;=\frac{\;nx_1+mx_2}{(m+n)}
\begin{array}{l}\frac{y_c-y_1}{y_2-y_c}=\frac mn\\\end{array}
n\left(y_c-y_1\right)\;=\;m(y_2-y_c)
y_c(m+n)\;=\;nx_1+my_2
y_c\;=\frac{\;ny_1+my_2}{(m+n)}
- වැදගත්:මෙහිදී අදාළ රේඛාව මත අනුපාතය සලකුණු කරන අකාරය පිළිබද සැලිකිලිමත් විය යුතුය.
රේඛාවක් දෙන ලද අනුපාතයකට බාහිර බෙදීම
ACE ත්‍රිකොණයත් BCD ත්‍රිකෝණයත් සමරුපි නිසා,
\frac{AE}{BD}=\frac{CE}{CD}=\frac{AC}{BC}
\frac{x_c-x_1}{x_c-x_2}=\frac{y_c-y_1}{y_c-y_2}=\frac mn
\frac{x_c-x_1}{x_c-x_2}=\frac mn\;\Rightarrow\;n(x_c-x_1)\;=m(x_c-x_2)
x_c(n-m)=nx_1-mx_2
x_c=\frac{nx_1-mx_2}{n-m}
x_c=\frac{nx_1+\left(-m\right)x_2}{n+\left(-m\right)}
\frac{y_c-y_1}{y_c-y_2}=\frac mn\;\Rightarrow\;n(y_c-y_1)\;=m(y_c-y_2)
y_c(n-m)=ny_1-my_2
y_c=\frac{ny_1-my_2}{n-m}
y_c=\frac{ny_1+\left(-m\right)y_2}{n+\left(-m\right)}
උදා: (01). A (1, 2), B (6, 12) ලක්ෂ යාකරන රේඛාවේ
(I). මධ්‍ය ලක්ෂයේ
(II). 2 : 3 අනුපාතයට අභ්‍යන්තරව හා බාහිරව බෙදන ලක්ෂ වල ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
(I).
AB හි මධ්‍ය ලක්ෂය C(xC,yC) යැයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}x_c&=&\frac{1\times1+6\times1}{1+1}\\&&\\x_c&=&\frac72\end{array}
\begin{array}{rcl}y_c&=&\frac{1\times2+12\times1}{1+1}\\&&\\y_c&=&7\end{array}
\therefore\;මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක (7/2,7) වේ.
(II).
AB රේඛාව 2 : 3 අනුපාතයට බෙදන ලක්ෂ්‍යය D(xD,yD) ලෙස ගනිමු.
\begin{array}{rcl}x_D&=&\frac{2\times6+3\times1}{2+3}\\&&\\&=&3\&&\end{array}
\begin{array}{rcl}y_D&=&\frac{2\times12+3\times2}{2+3}\&&\&=&6\&&\end{array}
\therefore\;D\equiv\left(3,6\right)
AB රේඛාව 2 : 3 අනුපාතයට බාහිරව බෙදන ලක්ෂ්‍යය E(xE,yE) ලෙස ගනිමු.
\begin{array}{rcl}x_E&=&\frac{3\times1+-2\times6}{3-2}\\&&\\&=&-9\\&&\end{array}
\begin{array}{rcl}y_E&=&\frac{3\times2+-2\times12}{3-2}\\&&\\&=&-18\\&&\end{array}
\therefore\;E\equiv\left(-9,-18\right)
\begin{array}{rcl}&&\text{උදා: (02).}A(x_1,y_1),{B(x_2,y_2)},{C(x_3,y_3)\;}\text{ ශීර්ෂ සහිත ත්‍රිකෝණයේ කේන්ද්‍රය සොයන්න.}\\&&\end{array}
AC රේඛාවේ ලක්ෂය D(xD,yD) ද BD රේඛාව 2 : 3 අනුපාතයට බෙදන E(xE.yE) ලක්ෂය ලෙසද ගනිමු. මෙහි E යනු ත්‍රිකෝණයේ කේන්ද්‍රය වේ.
x_D=\frac{x_1+x_3}2\;
y_D=\frac{y_1+y_3}2\;
\therefore\;D\;\equiv\left(\frac{x_1+x_3}2,\frac{y_1+y_3}2\right)
\begin{array}{rcl}x_E&=&\frac{2\times x_D+1\times x_2}{2+1}\\&&\\&=&\frac{x_1+x_2+x_3}3\end{array}
\begin{array}{rcl}y_E&=&\frac{2\times y_D+y_2}2\\&&\\&=&\frac{y_1+y_2+y_3}3\end{array}
\therefore\;ත්‍රිකෝණයේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක \;E\equiv\left(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\frac{x_1+x_2+x_3}3\right)
