චලිත සමීකරණ
- නියත ත්වරණයෙන් චලනය වන වස්තූන්හි ප්‍රවේගය, ත්වරණය, විස්ථාපනය හා කාලය සම්බන්ධ කරමින් සමීකරණ 4 ක් ගොඩනගා ඇත. ඒවා චලිත සමීකරණ ලෙස හැදින්වේ.
- ත්වරණය ඒකාකාර බැවින් මධ්‍යක ත්වරණය \;\underline a ම වේ.
\begin{array}{rcl}\mathrm{මධ්}\mathrm{යක}\;\mathrm{ත්වරණය}&=&\frac{\mathrm{ප්}\mathrm{රවේග}\;\mathrm{වෙනස}}{\mathrm{කාලය}}\\[4px]\underline a&=&\frac{\underline v-\underline u}t\;\\[4px]\underline v&=&\underline u+\underline a\;t\longrightarrow(1)\end{array}
- ඒකකාර ත්වරණයෙන් චලිත වන බැවින් අතරමැදි අවස්ථාවන්හි ප්‍රවේග නොසලකා ආරම්භක ප්‍රවේගය සහ අවසාන ප්‍රවේගයේ ඓක්‍යය 2න් බෙදා මධ්‍යක ප්‍රවේගය ලබාගත හැක.
\begin{array}{rcl}\therefore\;\mathrm{මධ්}\mathrm{යක}\;\mathrm{ප්}\mathrm{රවේගය}&=&\frac{\mathrm{විස්ථාපන}\;\mathrm{වෙනස}}{\mathrm{කාලය}}\\[4px]\frac{\underline u+\underline v}2&=&\frac{\underline s}t\\[4px]\underline s&=&\left(\frac{\underline u+\underline v}2\right)t\;\;\longrightarrow\;(2)\end{array}
- 1 හා 2 සමීකරණ වලින් \underline v ප්‍රවේගය ඉවත් කරමු.
\begin{array}{rcl}\underline s&=&\left(\frac{\underline u+\underline u+\underline at}2\right)t\\[4px]\underline s&=&\underline ut+\frac12\underline at^2\;\;\longrightarrow\;(3)\end{array}
- ඉහත (1) සමීකරණයේ අදිශ ආකාරය සැලකීමෙන්,
\begin{array}{rcl}v&=&u+at\\[4px]t&=&\frac{v-u}a\end{array}
- ඉහත (2) සමීකරණයේ අදිශ ආකාරය සැලකීමෙන්,
\begin{array}{rcl}s&=&\left(\frac{u+v}2\right)t\end{array}
- t ට ආදේශයෙන්,
\begin{array}{rcl}s&=&\left(\frac{u+v}2\right)\left(\frac{v-u}a\right)\\[4px]v^2&=&u^2+2as\;\;\longrightarrow\;(4)\end{array}
- ඉහත ව්‍යුත්පන්න කළ සමීකරණ වලංගු වීමට ත්වරණ නියත විය යුතුය.
- විස්ථාපන, ප්‍රවේග, ත්වරණ ආදේශ කිරීමේදී ඒවායේ දිශා පිළිබඳ සැලකිලිමත් විය යුතුය.
උදා:-
1) ඔසොව්වක් (Elevator) කාලය t = 0 විට නිසලතාවයෙන් චලිතය අරඹා සිරස් ලෙස ඉහළට a ඒකාකාර ත්වරණයකින් චලනය වේ.ඔසොව්වෙහි සිටින මිනිසෙක් කාලය t = t0 වන විට P අංශුවක් ගුරුත්වය යටතේ සීරුවෙන් මුදා හරී.P අංශුව එහි උපරිම උසට ළඟා වූ මොහොතේ Q නම් දෙවන අංශුවක්ද ගුරුත්වය යටතේ මුදා හරී.ඔසොව්වේත්,P හා Q අංශු දෙකේත් චලිත සඳහා ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාරවල දළ සටහන් එකම රූපයක අඳින්න.එමඟින්, Q ක්ෂණික නිශ්චලතාවයට එළඹෙන විට P හි ප්‍රවේගය at_0\left(\frac ag+1\right) බව පෙන්වන්න.
P අංශුවේ චලිතයට,
\begin{array}{rcl}\tan\;\beta\;&=&\;\frac{at_0}{t_1-t_0}\\[4px]g\;&=&\;\frac{at_0}{t_1-t_0}\\[4px]t_1-t_0\;&=&\;\frac{at_0}g\\[4px]t_1\;&=&\;\frac{at_0}g\;+\;t_0\\[4px]t_1\;&=&\;\frac{t_0}g\left(a+g\right)\end{array}
Q ක්ෂණික නිසලතාවයට එළඹෙන කාලය T නම්,
\begin{array}{rcl}\tan\;\beta\;&=&\;\frac{at_1}{T-t_1}\\[4px]g\;&=&\;\frac{at_1}{T-t_1}\\[4px]T-t_1\;&=&\;\frac{at_1}g\\[4px]\tan\;\beta\;&=&\;\frac V{T-t_1}\\[4px]V\;&=&\;g\left(T-t_1\right)\\[4px]V\;&=&\;g\frac{at_1}g\\[4px]V\;&=&\;at_0\left(\frac ag+1\right)\end{array}
උදා:-
2) ඍජු තිරස් පෙතක චලිත වන මෝටර් රථයක් ,ඒකාකාර u ප්‍රවේගයෙන් චලනය වන අවස්ථාවක ඉදිරියේ ඇති මාර්ග බාධකයක් නිසා ඒකාකාර මන්දනයක් සහිතව ප්‍රවේගය v දක්වා අඩු කර ක්ෂණිකව ඒකාකාර ත්වරණයකින් චලිත වී නැවත u ප්‍රවේගයටම එළඹේ.රථයේ චලිතය සඳහා ප්‍රවේග කාල වක්‍රයක් අඳින්න.මෙම චලිතය සඳහා T කාලයක් ගන්නා ලදී.මාර්ග බාධකය නොතිබුණි නම් එම කාලයේදී රථයට යා හැකිව තිබූ අමතර දුර \frac12\left(u-v\right)T බව පෙන්වන්න.
මාර්ග බාධකය නොතිබුණි නම්, එම කාලයේදී රථයට යා හැකිව තිබූ අමතර දුර අඳුරු කර ඇති ත්‍රිකෝණයෙන් ලැබේ.
\begin{array}{rcl}\text{එම නිසා අමතර දුර}\;\;&=&\;\;\text{එම ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය}\\&=&\;\frac12\left(u-v\right)T\end{array}
උදා:-
3) B නම් දුම්රියක් නිසලතාවයේ සිට f නියත ත්වරණයකින් එක්තරා නැවතුම්පොළකින් පිටත්වන මොහොතෙහිම u නියත වේගයෙන් ගමන් කරන A නම් වෙනත් දුම්රියක් එම නැවතුම්පොළ පසු කරයි.දුම්රිය දෙකම එකම දිශාවට සමාන්තර මාර්ගවල ගමන් කරයි.B දුම්රිය,ප්‍රවේගය ku (k>1) වන තෙක් ත්වරණය කරනු ලැබේ.ඉන්පසු f නියත මන්දනයකින් චලනය වී ඊළඟ නැවතුම් පොළේදී නිසලතාවයට පැමිණෙන සේ රෝධනය කරනු ලැබේ.දුම්රිය දෙක සඳහා ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාර එකම සටහනේ සටහන් කරන්න. k\;<\;1+\frac1{\sqrt2} වෙතොත් B ට A පසු කළ නොහැකි බව පෙන්වීමට මේ සටහන භාවිත කරන්න.
- A හා B දුම්රියවල චලිතය දැක්වෙන ප්‍රවේග කාල වක්‍ර පිළිවෙලින් CDEF හා ODGEH වෙයි.
- කිසියම් t කාලයකදී A ගමන් කළ දුරට වඩා B ගමන් කළ දුර අඩු නම්,B විසින් A පසු කොට ගමන් කර නැති බව නිගමනය වේ.වක්‍ර දෙකේ ඡේදන ලක්ෂ්‍යය වන Dට අනුරූප අවස්ථාව තෙක් A හි ප්‍රවේගය ,Bහි ප්‍රවේගයට වඩා විශාලය.එබැවින් එම අවස්ථාව ඉක්මෙන තෙක් B ට A පසු කළ නොහැකිය.මේ අන්දමටම E ඡේදන ලක්ෂ්‍යයෙන් පසු චලිතයේදී ද Bට A පසු කළ නොහැකිය.
- ප්‍රවේග කාල සටහනේ E ඡේදන ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප අවස්ථාව වන විට B විසින් A පසු කරනු ලැබ නො තිබුනේ නම්, ඉන් පසු කිසි විටෙකත් B ට A පසු කළ නොහැකි වනු ඇත.
- එබැවින් OGEK වර්ගඵලය > OCEK වර්ගඵලය නම් පමණක් B ට A පසු කළ හැකි වන අතර OGEK වර්ගඵලය < OCEK වර්ගඵලය නම්, B ට කිසි විටෙකත් A පසු කළ නොහැකි වනු ඇත.
- ODEK පොදු වර්ගඵලය ඉවත් කළ විට, DGE Δ < ODC Δ නම් පමණක් B ට කිසි විටෙකත් A පසු කළ නොහැකිය.
එහෙත්,
\begin{array}{rcl}DGE\;\Delta\;&=&\;2\;DGI\;\Delta\\ODC\;\Delta\;\text{වර්ගඵලය }&=&\;\frac12u\frac uf\;\\&=&\;\frac{u^2}{2f}\\DGI\;\Delta\;\text{වර්ගඵලය }&=&\;\frac12\left(k-1\right)u\left(k-1\right)\frac uf\;\\&=&\;\left(k-1\right)^2\frac{u^2}{2f}\\\therefore\;DGE\;\Delta\;\text{වර්ගඵලය }&=&2\left(k-1\right)^2\frac{u^2}{2f}\end{array}
\therefore\;2\left(k-1\right)^2\frac{u^2}{2f}\;<\;\frac{u^2}{2f} නම් Bට කිසි විටෙකත් A පසු කළ නොහැකිය.
එනම්, \left(k-1\right)^2\;<\;\frac12 නම් Bට කිසි විටෙකත් A පසු කළ නොහැකිය.
k\;>\;1 නිසා k\;<\;1+\frac1{\sqrt2} නම් Bට කිසි විටෙකත් A පසු කළ නොහැකිය.
උදා:-
4) P හා Q වස්තු දෙකක් පිහිටුම් දෛශික පිළිවෙලින් -2\underline i-2\underline j හා 2\underline i+8\underline j වන A හා B ලක්ෂ්‍ය දෙකක සිට \underline i+25\underline j හා a\underline i+20\underline j ආරම්භක ප්‍රවේගවලින් ගුරුත්වය යටතේ ප්‍රක්ෂේප කෙරෙයි.ඒවායේ තිරස් හා සිරස් චලිත සඳහා ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාර ඇඳ, එනයින්,ඒවා ගැටෙයි නම්,ගැටීමට ගත වන කාලයත් a හි අගයත් සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\text{හමුවීම සඳහා},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\P\;\text{හි සිරස් විස්ථාපනය}\;&=&\;Q\;\text{හි සිරස් විස්ථාපනය}\;+\;10\\P\;\text{හි සිරස් විස්ථාපනය}\;-\;Q\;\text{හි සිරස් විස්ථාපනය}\;&=&\;10\\5T\;&=&\;10\\T\;&=&\;2\\P\;\text{හි තිරස් විස්ථාපනය}&=&\;Q\;\text{හි තිරස් විස්ථාපනය}\;+\;4\\P\;\text{හි තිරස් විස්ථාපනය}\;-\;Q\;\text{හි තිරස් විස්ථාපනය}\;&=&\;4\\\left(1-a\right)^2\;&=&\;4\\1-a\;&=&\;2\\a\;&=&\;-1\end{array}
ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.
