03.02.00 – ප්‍රක්ෂිප්ත

• සංයුක්ත ගණිතය II ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ  එක් ප්‍රශ්නයක හෝ B කොටසේ 12 ප්‍රශ්නයේ එක් කොටසක මෙම පාඩමේ සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.

ප්‍රක්ෂිප්ත හැදින්වීම

• ප්‍රක්ෂිප්තයක් යනු තිරසට ආනතව ආරම්භක ප්‍රවේගක් ලබා දුන් විට ගුරුත්වය යටතේ සිදු කරන චලිතයයි.
• ප්‍රක්ෂිප්තයක හැඩය පරාවලයකි.

ප්‍රක්ෂිප්තයක් සිරස් හා තිරස් චලිත දෙකක සම්ප්‍රයුක්තයක් ලෙස හැදින්විය හැක.

• තිරස් චලිතය ආරම්භක ප්‍රවේගය u×cosα  වන ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන් සිදු වන චලිතයකි.
• සිරස් චලිතය ආරම්භක ප්‍රවේගය u×sinα වන පහලට ත්වරණය g (ගුරුත්වජ ත්වරණය) වන චලිතයකි.

චලිත සමීකරණ යෙදීම

\begin{array}{rcl}v&=&u+at\\s&=&ut+\frac12at^2\\v^2&=&u^2+2as\\s&=&\frac{(u+v)}2t\end{array}

• සිරස් චලිතයට ඉහත සමීකරණ යෙදිය හැක.
• මේවා යෙදීමේදී දිශාව පිලිබද ඉතාමත් සැලකිලිමත් විය යුතුය.

උපරිම උස (H)

• උපරිම උසේදී සිරස් ප්‍රවේගය ශුන්‍ය වේ.
• සිරස් ප්‍රවේගය = 0 වීමේදී කාලය සෙවීමෙන් උපරිම උසට යාමට ගත වන කාලය සෙවිය හැක.

AB චලිතය සදහා ඉහළට v = u + at යෙදීමෙන්,

\begin{array}{l}0=\text{ u }\sin\left(\alpha\right)\;-\;\text{gt }\\t\;=\;\frac{\text{u}\sin\left(\alpha\right)}{\text{g}}\end{array}

• සිරස් ප්‍රවේගය = 0 වීමේදී විස්තාපනය සෙවීමෙන් උපරිම උස සෙවිය හැක.

AB චලිතය සදහා ඉහළට v² = u² + 2as යෙදීමෙන්,

\begin{array}{rcl}0\;&=&\;(u\sin\alpha)^2\;+\;2(-g)\;H\\\;H\;&=&\;\frac{{(u\sin\alpha)}^2}{2g\;}\end{array}

තිරස් පරාසය (d) හා පියාසර කාලය (T)

• තිරස් පරාසය යනු ප්‍රක්ෂිප්තය අවසන් වන විට එය සිදු කර ඇති තිරස් විස්තාපනයයි.
• පියාසර කාලය යනු ප්‍රක්ෂිප්තය ගමන් ගත් මුලු කාලයයි.
• සිරස් චලිතයට චලිත සමීකරණ යෙදීමෙන් පසු පියාසර කාලය සොයා ගත හැක.

AC චලිතය සදහා ඉහළට s = ut + at²/2 යෙදීමෙන්,

\begin{array}{l}0=\text{ u}\;\sin\left(\alpha\right)\text{T}\;+\;\frac{(-\text{g})\text{T}^2}2\;\;\;\;\;\;\\\end{array}             T <math xmlns=”http://www.w3.org/1998/Math/MathML”><mo>≠</mo></math>0

ඉන්පසු තිරස් චලිතයට s=ut යෙදීමෙන් තිරස් පරාසය සොයා ගත හැක. 

\begin{array}{l}\text{d}=\frac{\text{u}\cos\left(\alpha\right)2\text{u}\sin\left(\alpha\right)}{\text{g}}\\\text{d}=\frac{2\text{u}^2\sin\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha\right)}{\text{g}}\end{array}

උපරිම තිරස් පරාසය

ආරම්භක තිරස් තලයෙන් අවසන් වන ප්‍රක්ෂිප්තයක උපරිම තිරස් පරාසය ලබා දෙන්නේ ප්‍රක්ෂේපන කෝණය 45° විටය.

\begin{array}{rcl}d\;&=&\frac{\;2u^2\sin\alpha\times\cos\alpha}g\\\;d\;&=&\frac{\;u^2\sin(2\alpha)}g\;\\d_{max}&=&\frac{\;u^2\sin(2\alpha)_{max}}{\;g}\;\text{විය යුතුය}\;\;\\\sin(2\alpha)_{max}\;&=&\;1\;\\&=&\;\sin\;90^\circ\\\;2\alpha_{max}\;&=&\;90^\circ\;\;\\\alpha_{max}&=&\;45^\circ\end{array}

ප්‍රක්ෂේපනයෙන් t කාලයකට අංශුවේ පිහිටීම සහ එහි චලිත පථයේ සමීකරණය ලබා ගැනීම

OXY අනුබද්ධයෙන් t කාලයකදී අංශුවේ පිහිටීම D = (x, y) යැයි ගනිමු

OA දිශාවට s = ut යෙදීමෙන්,

\text{x}=\text{u}\cos\left(\alpha\right)\text{t }\;\;\rightarrow\boxed1

OB දිශාවට \mathrm s\;=\;\mathrm{ut}\;+\;\frac12\mathrm{at}^2 යෙදීමෙන්,

\text{y}=\text{u}\sin\left(\alpha\right)\text{t }+\;(-\frac12\text{gt}^2)\;\;\;\;\;\rightarrow\boxed2

\boxed1 හා \boxed2 න් t ඉවත් කිරීමෙන් චලිත පථයේ සමීකරණය ලබා ගත හැක

\begin{array}{l}\mathrm t\;=\;\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\\\mathrm y\;=\;\mathrm{usin}\left(\mathrm\alpha\right)\times\left(\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\right)\;-\;\frac{\mathrm g}2\left(\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\right)^2\\\mathrm y\;=\;\mathrm{x}\;\times\;\tan\left(\mathrm\alpha\right)\;-\;\frac{\mathrm{gx}^2\sec^2\left(\mathrm\alpha\right)}{2\mathrm u^2}\end{array}

මෙහි  \mathrm y\;=\;\mathrm{ax}^2\;+\;\mathrm{bx}\;+\;\mathrm c ආකාරය නිසා චලිත පථයේ සමීකරණය පරාවලයක් වේ.

උදාහරණ ගැටළු,

1. තිරසට 30° සාදමින් 80 ms^-1 ප්‍රවේගයෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කල වස්තුවක් එලැබී උපරිම උස , උපරිම උසට එලබීමට ගන්න කාලය, පියාසර කාලය සහ තිරස් පරාසය සොයන්න.

උපරිම උසේදී ප්‍රවේගයේ සිරස් සංරචකය ශුන්‍ය වේ. උපරිම උස H හා ඒ සදහා ගතවන කාලය t යැයි ගනිමු.

\begin{array}{l}\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm v^2\;=\;\mathrm u^2\;+\;2\mathrm{as}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\;\;\\0\;=(\;80\;\cos60^\circ)\;+-2\mathrm{gH}\\2\times10\times\mathrm H\;=\;1600\;\\\mathrm H\;=\;80\;\mathrm m\\\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm v\;=\;\mathrm u\;+\;\mathrm{at}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\0\;=\;80\;\cos60^\circ\;-\;\mathrm{gt}\\10\mathrm t\;=\;40\\\mathrm t\;=4\;\mathrm s\\\mathrm{පියාසර}\;\mathrm{කාලය}\;\mathrm T\;\mathrm{සහ}\;\mathrm{තිරස්}\;\mathrm{පරාසය}\;\mathrm R\;\mathrm{යැයි}\;\mathrm{ගනිමු}\\\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm s\;=\;\mathrm{ut}\;+\frac12\;\mathrm{at}^2\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\0\;=\;80\;\cos60^\circ\times\mathrm T\;+\;\frac{(-\mathrm g)\mathrm T^2}2\;:\;\mathrm t\;\neq0\;\\10\;\times\;\mathrm T\;=\;2\;\times\;80\;\cos60^\circ\;\\\mathrm T\;=\;8\;\mathrm s\\\mathrm{තිරස්}\;\mathrm{චලිතයට}\;\mathrm s=\mathrm{ut}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\\mathrm R\;=\;80\;\cos30^\circ\;\times\;8\\\mathrm R\;=\;320\sqrt3\;\mathrm m\end{array}

2. බිම සිට ප්‍රක්ෂේපනය කල අංශුවක් එළබි උපරිම උස 80 m වන අතර තිරස් පරාසය 240 m වේ. ප්‍රක්ෂේපන වේගය හා දිශාව සොයන්න. අංශුව 35 m ඉහලින් පිහිටන අවස්ථා 2 ක් ඇති බව පෙන්වා එම ස්ථාන 2 ක අතර තිරස් දුර සොයන්න.

\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}\text{ඉහළට }\mathrm v^2\;&=&\;\mathrm u^2\;+\;2\mathrm{as}\;\text{යෙදීමෙන්,}\;\\\;0\;&=&\;(\mathrm{usinβ})^2\;–\;2\times10\times80\;\\\mathrm u^2\sin2\mathrm\beta\;&=&\;1600\;\\\mathrm{usinβ}\;&=&\;40---\left[1\right]\\&&\text{පියාසර කාලය }\mathrm T\;\text{යැයි ගනිමු}\;\\\text{ඉහළට  }s&=&\;ut\;+\;at^2/2\text{ යෙදීමෙන්,}\\\;0\;&=&\;u\sin\beta\;\times T\;+\frac{\;(-g)T^2}2\;:\;t\;\neq0\;\\10\;\times\;T\;&=&\;2\;\times\;u\sin\beta\;\\T\;&=&\;\frac{u\sin\beta}{5\;}\\T\;&=&\;\frac{40\;}5\\&=&\;8\;s\;\\\text{තිරස් චලිතයට}\;\mathrm s&=&\mathrm{ut}\;\text{යෙදීමෙන්,}\;\\240\;&=&\;u\cos\beta\;\times\;8\;\\u\cos\beta\;&=&\;30\;---\left[2\right]\;\;\\&&\;\frac{\left[1\right]}{\left[2\right]}\;\mathrm{න්},\\\;\tan\beta&=&\;\frac43\;\\sin\beta&=&\frac{\;4}5\;\\&&\left[1\right]\;\mathrm{න්},\;\\u\sin\beta\;&=&\;40\\u&=&\;40\times\frac54\\u\;&=&\;50\;ms^{-1}\;\\\text{ඉහළට}\;s\;&=&\;ut\;+\;\frac{at^2}2\;\text{යෙදීමෙන්},\;\\35\;&=&\;u\sin\beta\;\times t\;+\frac{\;(-g)t^2}2\;\;\\35\;&=&\;50\;\times\;\frac{4\;}5\times\;t\;–\;5t^2\;\\5t^2\;–\;40\;t\;+\;35\;&=&\;0\;\\\;t^2-\;8\;t\;+\;7\;&=&\;0\\\;(t-7)(t-1)\;&=&\;0\\\;\mathrm t\;&=&\;1\;\mathrm s\text{ හා}\;7\;\mathrm s\;\text{විට පොලවේ සිට 35m උසකින් අංශුව පිහිටයි}\\\text{ තිරස් චලිතයට}\;\mathrm s&=&\mathrm{ut}\;\text{යෙදීමෙන්,}\\\;\mathrm t\;&=&\;1\;\mathrm s\text{ හා}\;7\;\mathrm s\;\text{විට අංශු අතර පරතරය R යැයි ගනිමු}\;\;\\R\;&=&\;u\cos\beta\;\times\;(7-1)\;\\R\;&=&\;50\;\times\;\frac35\;\times\;6\;\\R\;&=&\;180\;m\end{array}\end{array}

3. OA සිරස් ආරක්ෂක කුළුනක O මූලයේ සිට හා A මුදුනේ සිට උණ්ඩ දෙකක් α හා β කෝණ වලින් තිරසට ආනතව එකම මොහොතේ ප්‍රක්ෂේපනය කෙරේ. උණ්ඩ දෙක කුලුනේ සිට a දුරින් වන ඉලක්කයක එකවර වදී. කුලුනේ උස  a(tanα-tanβ)  බව පෙන්වන්න

\begin{array}{rcl}&&\text{එකම තිරස් පරාසයක් ඇති නිසා, }\;\\a\;&=&\;v\;\cos\beta\;\times\;t\;\\t\;&=&\;\frac a{v\;\cos\beta}\\a\;&=&\;w\;\cos\alpha\;\times\;t\\;\;t\;&=&\;\frac a{\;w\;\cos\alpha}\\\;\mathrm x\;\text{උණ්ඩයට සිරස්ව ඉහළට}\;s\;&=&\;ut\;+\;\frac12at^2\;\text{යෙදීමෙන්, }\\H-b\;&=&\;w\;\sin\alpha\;t\;-\frac12gt^2\;---\left[1\right]\\\;y\text{ උණ්ඩයට සිරස්ව ඉහළට}\;s\;&=&\;ut\;+\;\;\frac12at^2\;\text{යෙදීමෙන්, }\\-b\;&=&\;v\;\sin\beta\;t\;-\frac12gt^2\;\;\\&&\left[1\right]\;\;\mathrm{හා}\left[\;2\right]\;\mathrm{න්},\;\\H\;&=&\;w\;\sin\alpha\;t\;-\;v\;\sin\beta\;t\\&&t\;\text{අදේශයෙන්,}\;\\\;H\;&=&\;w\;\sin\alpha\;\times\left(\frac{\;a}{\;w\;\cos\alpha}\right)-\;v\;\sin\beta\;\times\;\left(\frac a{v\;\cos\beta}\right)\\H\;&=&\;a\;(\tan\alpha\;-\;\tan\beta)\end{array}

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.