- සංයුක්ත ගණිතය II ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ එක් ප්‍රශ්නයක හෝ B කොටසේ 12 ප්‍රශ්නයේ එක් කොටසක මෙම පාඩමේ සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.
ප්‍රක්ෂිප්ත හැදින්වීම
- ප්‍රක්ෂිප්තයක් යනු තිරසට ආනතව ආරම්භක ප්‍රවේගක් ලබා දුන් විට ගුරුත්වය යටතේ සිදු කරන චලිතයයි.
- ප්‍රක්ෂිප්තයක හැඩය පරාවලයකි.
ප්‍රක්ෂිප්තයක් සිරස් හා තිරස් චලිත දෙකක සම්ප්‍රයුක්තයක් ලෙස හැදින්විය හැක.
- තිරස් චලිතය ආරම්භක ප්‍රවේගය u×cosα වන ඒකාකාර ප්‍රවේගයෙන් සිදු වන චලිතයකි.
- සිරස් චලිතය ආරම්භක ප්‍රවේගය u×sinα වන පහලට ත්වරණය g (ගුරුත්වජ ත්වරණය) වන චලිතයකි.
චලිත සමීකරණ යෙදීම
\begin{array}{rcl}v&=&u+at\\s&=&ut+\frac12at^2\\v^2&=&u^2+2as\\s&=&\frac{(u+v)}2t\end{array}
- සිරස් චලිතයට ඉහත සමීකරණ යෙදිය හැක.
- මේවා යෙදීමේදී දිශාව පිලිබද ඉතාමත් සැලකිලිමත් විය යුතුය.
උපරිම උස (H)
- උපරිම උසේදී සිරස් ප්‍රවේගය ශුන්‍ය වේ.
- සිරස් ප්‍රවේගය = 0 වීමේදී කාලය සෙවීමෙන් උපරිම උසට යාමට ගත වන කාලය සෙවිය හැක.
AB චලිතය සදහා ඉහළට v = u + at යෙදීමෙන්,
\begin{array}{l}0=\text{ u }\sin\left(\alpha\right)\;-\;\text{gt }\\t\;=\;\frac{\text{u}\sin\left(\alpha\right)}{\text{g}}\end{array}
- සිරස් ප්‍රවේගය = 0 වීමේදී විස්තාපනය සෙවීමෙන් උපරිම උස සෙවිය හැක.
AB චලිතය සදහා ඉහළට v2 = u2 + 2as යෙදීමෙන්,
\begin{array}{rcl}0\;&=&\;(u\sin\alpha)^2\;+\;2(-g)\;H\\\;H\;&=&\;\frac{{(u\sin\alpha)}^2}{2g\;}\end{array}
තිරස් පරාසය (d) හා පියාසර කාලය (T)
- තිරස් පරාසය යනු ප්‍රක්ෂිප්තය අවසන් වන විට එය සිදු කර ඇති තිරස් විස්තාපනයයි.
- පියාසර කාලය යනු ප්‍රක්ෂිප්තය ගමන් ගත් මුලු කාලයයි.
- සිරස් චලිතයට චලිත සමීකරණ යෙදීමෙන් පසු පියාසර කාලය සොයා ගත හැක.
AC චලිතය සදහා ඉහළට s = ut + at2/2 යෙදීමෙන්,
\begin{array}{l}0=\text{ u}\;\sin\left(\alpha\right)\text{T}\;+\;\frac{(-\text{g})\text{T}^2}2\;\;\;\;\;\;\\\end{array} T <math xmlns=”http://www.w3.org/1998/Math/MathML”><mo>≠</mo></math>0
ඉන්පසු තිරස් චලිතයට s=ut යෙදීමෙන් තිරස් පරාසය සොයා ගත හැක.
\begin{array}{l}\text{d}=\frac{\text{u}\cos\left(\alpha\right)2\text{u}\sin\left(\alpha\right)}{\text{g}}\\\text{d}=\frac{2\text{u}^2\sin\left(\alpha\right)\cos\left(\alpha\right)}{\text{g}}\end{array}
උපරිම තිරස් පරාසය
ආරම්භක තිරස් තලයෙන් අවසන් වන ප්‍රක්ෂිප්තයක උපරිම තිරස් පරාසය ලබා දෙන්නේ ප්‍රක්ෂේපන කෝණය 45° විටය.
\begin{array}{rcl}d\;&=&\frac{\;2u^2\sin\alpha\times\cos\alpha}g\\\;d\;&=&\frac{\;u^2\sin(2\alpha)}g\;\\d_{max}&=&\frac{\;u^2\sin(2\alpha)_{max}}{\;g}\;\text{විය යුතුය}\;\;\\\sin(2\alpha)_{max}\;&=&\;1\;\\&=&\;\sin\;90^\circ\\\;2\alpha_{max}\;&=&\;90^\circ\;\;\\\alpha_{max}&=&\;45^\circ\end{array}
ප්‍රක්ෂේපනයෙන් t කාලයකට අංශුවේ පිහිටීම සහ එහි චලිත පථයේ සමීකරණය ලබා ගැනීම
OXY අනුබද්ධයෙන් t කාලයකදී අංශුවේ පිහිටීම D = (x, y) යැයි ගනිමු
OA දිශාවට s = ut යෙදීමෙන්,
\text{x}=\text{u}\cos\left(\alpha\right)\text{t }\;\;\rightarrow\boxed1OB දිශාවට \mathrm s\;=\;\mathrm{ut}\;+\;\frac12\mathrm{at}^2 යෙදීමෙන්,
\text{y}=\text{u}\sin\left(\alpha\right)\text{t }+\;(-\frac12\text{gt}^2)\;\;\;\;\;\rightarrow\boxed2\boxed1 හා \boxed2 න් t ඉවත් කිරීමෙන් චලිත පථයේ සමීකරණය ලබා ගත හැක
\begin{array}{l}\mathrm t\;=\;\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\\\mathrm y\;=\;\mathrm{usin}\left(\mathrm\alpha\right)\times\left(\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\right)\;-\;\frac{\mathrm g}2\left(\frac{\mathrm x}{\mathrm{ucos}\left(\mathrm\alpha\right)}\right)^2\\\mathrm y\;=\;\mathrm{x}\;\times\;\tan\left(\mathrm\alpha\right)\;-\;\frac{\mathrm{gx}^2\sec^2\left(\mathrm\alpha\right)}{2\mathrm u^2}\end{array}මෙහි \mathrm y\;=\;\mathrm{ax}^2\;+\;\mathrm{bx}\;+\;\mathrm c ආකාරය නිසා චලිත පථයේ සමීකරණය පරාවලයක් වේ.
උදාහරණ ගැටළු,
1. තිරසට 30° සාදමින් 80 ms-1 ප්‍රවේගයෙන් ප්‍රක්ෂේපණය කල වස්තුවක් එලැබී උපරිම උස , උපරිම උසට එලබීමට ගන්න කාලය, පියාසර කාලය සහ තිරස් පරාසය සොයන්න.
උපරිම උසේදී ප්‍රවේගයේ සිරස් සංරචකය ශුන්‍ය වේ. උපරිම උස H හා ඒ සදහා ගතවන කාලය t යැයි ගනිමු.
\begin{array}{l}\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm v^2\;=\;\mathrm u^2\;+\;2\mathrm{as}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\;\;\\0\;=(\;80\;\cos60^\circ)\;+-2\mathrm{gH}\\2\times10\times\mathrm H\;=\;1600\;\\\mathrm H\;=\;80\;\mathrm m\\\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm v\;=\;\mathrm u\;+\;\mathrm{at}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\0\;=\;80\;\cos60^\circ\;-\;\mathrm{gt}\\10\mathrm t\;=\;40\\\mathrm t\;=4\;\mathrm s\\\mathrm{පියාසර}\;\mathrm{කාලය}\;\mathrm T\;\mathrm{සහ}\;\mathrm{තිරස්}\;\mathrm{පරාසය}\;\mathrm R\;\mathrm{යැයි}\;\mathrm{ගනිමු}\\\mathrm{ඉහළට}\;\mathrm s\;=\;\mathrm{ut}\;+\frac12\;\mathrm{at}^2\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\0\;=\;80\;\cos60^\circ\times\mathrm T\;+\;\frac{(-\mathrm g)\mathrm T^2}2\;:\;\mathrm t\;\neq0\;\\10\;\times\;\mathrm T\;=\;2\;\times\;80\;\cos60^\circ\;\\\mathrm T\;=\;8\;\mathrm s\\\mathrm{තිරස්}\;\mathrm{චලිතයට}\;\mathrm s=\mathrm{ut}\;\mathrm{යෙදීමෙන්},\\\mathrm R\;=\;80\;\cos30^\circ\;\times\;8\\\mathrm R\;=\;320\sqrt3\;\mathrm m\end{array}
2. බිම සිට ප්‍රක්ෂේපනය කල අංශුවක් එළබි උපරිම උස 80 m වන අතර තිරස් පරාසය 240 m වේ. ප්‍රක්ෂේපන වේගය හා දිශාව සොයන්න. අංශුව 35 m ඉහලින් පිහිටන අවස්ථා 2 ක් ඇති බව පෙන්වා එම ස්ථාන 2 ක අතර තිරස් දුර සොයන්න.
3. OA සිරස් ආරක්ෂක කුළුනක O මූලයේ සිට හා A මුදුනේ සිට උණ්ඩ දෙකක් α හා β කෝණ වලින් තිරසට ආනතව එකම මොහොතේ ප්‍රක්ෂේපනය කෙරේ. උණ්ඩ දෙක කුලුනේ සිට a දුරින් වන ඉලක්කයක එකවර වදී. කුලුනේ උස a(tanα-tanβ) බව පෙන්වන්න
\begin{array}{rcl}&&\text{එකම තිරස් පරාසයක් ඇති නිසා, }\;\\a\;&=&\;v\;\cos\beta\;\times\;t\;\\t\;&=&\;\frac a{v\;\cos\beta}\\a\;&=&\;w\;\cos\alpha\;\times\;t\\;\;t\;&=&\;\frac a{\;w\;\cos\alpha}\\\;\mathrm x\;\text{උණ්ඩයට සිරස්ව ඉහළට}\;s\;&=&\;ut\;+\;\frac12at^2\;\text{යෙදීමෙන්, }\\H-b\;&=&\;w\;\sin\alpha\;t\;-\frac12gt^2\;---\left[1\right]\\\;y\text{ උණ්ඩයට සිරස්ව ඉහළට}\;s\;&=&\;ut\;+\;\;\frac12at^2\;\text{යෙදීමෙන්, }\\-b\;&=&\;v\;\sin\beta\;t\;-\frac12gt^2\;\;\\&&\left[1\right]\;\;\mathrm{හා}\left[\;2\right]\;\mathrm{න්},\;\\H\;&=&\;w\;\sin\alpha\;t\;-\;v\;\sin\beta\;t\\&&t\;\text{අදේශයෙන්,}\;\\\;H\;&=&\;w\;\sin\alpha\;\times\left(\frac{\;a}{\;w\;\cos\alpha}\right)-\;v\;\sin\beta\;\times\;\left(\frac a{v\;\cos\beta}\right)\\H\;&=&\;a\;(\tan\alpha\;-\;\tan\beta)\end{array}
ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.
