- u= ax+by+c=o සහ v = ℓx+my+n=o යන්න එකිනෙකට අසමාන්තර සරල රේඛා 2ක් සලකමු.
- සරල රේඛා දෙකේ ඡේදන ලක්ෂය (x0, y0) ලෙස ගනිමු. මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් ඉහත සරල රේඛා දෙක තෘප්ත වේ.
ax_0+by_0+c\;=\;0\;\rightarrow\;\boxed1
lx_0+my_0+n\;=\;0\;\rightarrow\;\boxed2
- u+\lambda v\;=0 යන සමීකරණය සලකමු. මෙහි \lambda යනු x\;\text{හා}\;y ගෙන් ස්වායත්ත විචල්‍ය පරාමිතියකි.
\Rightarrow\;\;\;ax+by+c\;+\lambda\left(lx+my+n\right)\;=\;0\;\;\;\;\rightarrow\;\;\boxed A
\boxed A න්,
\left(a+\lambda l\right)x\;+\;\left(b+\lambda m\right)y\;+\;\left(c+\lambda n\right)\;=\;0
- මෙය x හා y හි ඒකජ සමීකරණයකි.
\therefore \lambda හි දෙන ලද අගයක් සඳහා මෙමගින් සරල රේඛාවක සමීකරණයක්ද \lambda හි වෙනස් අගයන් සඳහා සරල රේඛා පන්තියක් නිරූපණය වේ.
- (x0, y0) ලක්ෂයේ ඛණ්ඩාංක ඉහත A හි වම් පස ආදේශ කරමු.
\begin{array}{rcl}L.H.S.&=&\left(a+\lambda l\right)x_0\;+\;\left(b+\lambda m\right)y_0\;+\left(c+\lambda n\right)\\&=&\left(ax_0+by_0+c\right)\;+\;\lambda\left(lx_0+my_0+n\right)\\&=&0\;+\;\lambda\cdot0\;\;\;\;;\;\;\;\text{1 හා 2 න් ආදේශයෙන්}\\&=&0\\&=&R.H.S.\end{array}
- (x0, y0) මගින් ඉහත \boxed A මගින් දැක්වෙන සරල රේඛා වල සමීකරණ තෘප්ත වේ.
\therefore ඉහත \boxed A මගින් දැක්වෙන සියලුම සරල රේඛා (x0, y0) ලක්ෂ්‍යය හරහා යයි.එනම් u = 0 හා v = 0 යන සරල රේඛා දෙකෙහි ඡේදන ලක්ෂ්‍යය හරහා යයි.
\therefore u = 0 හා v = 0 යන සරල රේඛා දෙකහි ඡේදන ලක්ෂ්‍ය හරහා යන ඕනෑම සරල රේඛාවක සමීකරණය u+\lambda v\;=0 ආකාරය වේ. මෙහි \lambda යනු x\;\text{හා}\;y ගෙන් ස්වායත්ත විචල්‍ය පරාමිතියකි.
උදා (1): 2x-3y+1=0 සහ x+3y-1=0 රේඛා දෙකෙහි ඡේදන ලක්ෂ්‍යය හරහා යමින් (-1,2) ලක්ෂය හරහාද යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්න.
2x-3y+1=0 සහ x+3y-1=0 රේඛා දෙකෙහි ඡේදන ලක්ෂය හරහා යන ඕනෑම සරල රේඛාවක සමීකරණය,
2x-3y+1 + α(x+3y-1) = 0 ලෙස ලිවිය හැක.
මෙම සරල රේඛාව (-1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා යන බැවින් (-1, 2) මගින් ඉහත සමීකරණය තෘප්ත වේ.
\begin{array}{rcl}2\left(-1\right)\;-3\left(2\right)\;+1\;+\alpha\left\{-1+3\left(2\right)-1\right\}\;&=&\;0\\4\alpha\;&=&\;7\\\alpha\;&=&\;\frac74\end{array}
\therefore\;\;\;\text{අවශ්‍ය සරල රේඛාවේ සමීකරණය, }\begin{array}{rcl}2x-3y+1+\frac74\left(x+3y-1\right)&=&0\\8x-12y-4+7x-21y-7&=&0\\15x+9y-3&=&0\\5x+3y-1&=&0\end{array}
උදා (2) : ABC ත්‍රිකෝණයක BC , CA හා AB පාදවල සමීකරණ පිළිවෙළින් 3x-y+5 = 0 , 2x+3y-1 = 0 සහ x+2y-3 = 0 වේ. A තුළින් BC ට ලම්බකව ඇඳි රේඛාව B තුළින් AC ට සමාන්තරව ඇඳි රේඛාව D හිදී හමුවේ. මූල ලක්ෂ්‍යය හා D යා කරන රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්න.
BC අනුක්‍රමණය=3
AC අනුක්‍රමණය=-\frac23
AD සමීකරණය පහත ආකාරයට ලිවිය හැක.
\begin{array}{rcl}2x+3y-1\;+\alpha\left(x+2y-3\right)\;&=&\;0\\\left(2+\alpha\right)x\;+\;\left(3+2\alpha\right)y\;-\;\left(3\alpha+1\right)\;&=&\;0\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\boxed1\end{array}
AD\;\text{අනුක්‍රමණය}\;=\;\frac{-(2+\alpha)\;}{\left(3+2\alpha\right)}
\begin{array}{rcl}\text{තවද, BC හා AD ලම්බක නිසා, AD අනුක්‍රමණය}&=&-\frac13\\-\frac{2+\alpha}{3+2\alpha}&=&-\frac13\\6+3\alpha&=&3+2\alpha\\\alpha&=&-3\end{array}\boxed1 න් AD සමීකරණය,
(2-3)x + (3-6)y – (-9+1) = 0
-x-3y+8 = 0
x+3y-8 = 0
BD සමීකරණය පහත ආකාරයට ලිවිය හැක.
x+2y-3\;+\beta\left(3x-y+5\right)\;=\;0
\left(3\beta+1\right)x\;+\;(2-\beta)y\;+\;(5\beta-3)\;=\;0\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\boxed2
BD\;\text{අනුක්‍රමණය}=\;\frac{-(3\beta+1)}{(2-\beta)}
\begin{array}{rcl}\text{තවද AC හා BD සමාන්තර නිසා, BD අනුක්‍රමණය}&=&-\frac23\\-\frac23&=&\;\frac{-(3\beta+1)}{(2-\beta)}\\9\beta+3\;&=&\;4-2\beta\\\beta&=&\frac1{11}\end{array}\boxed2 න් BD සමීකරණය,
\left(\left(3\;\mathrm x\frac1{11}\right)+1\right)x+\;\left(2-\frac1{11}\right)y+\left(\left(5\;\mathrm x\frac1{11}\right)-3\right)=\;0
2x+3y-4\;=\;0
OD සමීකරණය පහත ආකාරයට ලිවිය හැක.
x+3y-8\;+\mu\left(2x+3y-4\right)\;=\;0\;\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\;\boxed3
මෙම සමීකරණය (0,0) මගින් තෘප්ත වන නිසා,
0+0-8\;+\mu\left(0+0-4\right)\;=\;0
\mu=-2
\boxed3 න් OD සමීකරණය,
\begin{array}{rcl}x+3y-8-2(2x+3y-4)&=&0\\-3x-3y&=&0\\x+y&=&0\end{array}උදා (3): l හා l^{\prime} නැමති ප්‍රභින්න ඡේදක සරල රේඛා දෙකක සමීකරණ පිලිවෙළින් ax+by+c=0 හා a^{\prime}x+b^{\prime}y++c^{\prime}\;=\;0 වේ. l\; හා l^{\prime} සමග මූල ලක්ෂය හරහා යන රේඛා වලින් සමාන්තරාස්‍රයක් සෑදේ නම් විකර්ණ වල සමීකරණ සොයා සමාන්තරාස්‍රයක් වීමට අවශ්‍යතාවය සොයන්න.
A\equiv(x_a,y_a) ලෙස ගනිමු.
OC රේඛවේ සමීකරණය ax+by = 0 ද AC විකර්ණයේ සමීකරණය a^{\prime}x+b^{\prime}y\;=\;0 වේ.
OB විකර්ණයේ සමීකරණය,
\left(ax+by+c\right)\;+\mu\left(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}\right)\;=\;0\;\text{ආකාරයේ වේ.}
මෙම රේඛාව (0, 0) ලක්ෂ්‍යය හරහා යන බැවින් (0, 0) ඛණ්ඩාංකය මගින් මෙම සමීකරණය තෘප්ත වේ.
0+0+c\;+\mu\left(0+0+c^{\prime}\right)\;=\;0
\mu\;=-\;\frac c{c^{\prime}}
\therefore OB විකර්ණයේ සමීකරණය,
\begin{array}{rcl}\left(ax+by+c\right)-\frac c{c^{\prime}}\left(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}\right)\;&=&\;0\\\left(ac^{\prime}-a^{\prime}c\right)x\;+\;\left(bc^{\prime}-b^{\prime}c\right)y\;-cc^{\prime}\;&=&\;0\end{array}
AC විකර්ණයේ සමීකරණය,
\begin{array}{rcl}\left(ax+by\right)\;+\;k\left(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}\right)\;&=&\;0\\\left(a+ka^{\prime}\right)x\;+\;\left(b+kb^{\prime}\right)y\;+\;kc^{\prime}\;&=&\;0\;\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\boxed A\end{array}
තවද AC විකර්ණයේ සමීකරණය,
\begin{array}{rcl}\left(ax+by+c\right)\;+k^{\prime}\left(a^{\prime}x+b^{\prime}y\right)\;&=&\;0\\\left(a+k^{\prime}a^{\prime}\right)x\;+\;\left(b+k^{\prime}b^{\prime}\right)y\;+\;c\;&=&\;0\;\;\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\boxed B\end{array}
\boxed{A\;}\;\;=\;\boxed B බැවින්,
\frac{\left(a+ka^{\prime}\right)}{\left(a+k^{\prime}a^{\prime}\right)}=\frac{\left(b+kb^{\prime}\right)}{\left(b+k^{\prime}b^{\prime}\right)}=\frac{kc^{\prime}}c
\begin{array}{rcl}\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\left(a+ka^{\prime}\right)}{\left(a+k^{\prime}a^{\prime}\right)}&=&\frac{\left(b+kb^{\prime}\right)}{\left(b+k^{\prime}b^{\prime}\right)}\\\left(a+ka^{\prime}\right)\left(b+k^{\prime}b^{\prime}\right)\;&=&\;\left(b+kb^{\prime}\right)(a+k^{\prime}a^{\prime})\\ab\;+kab^{\prime}\;+ka^{\prime}b\;+k^2a^{\prime}b^{\prime}\;&=&\;ab\;+\;k^{\prime}ab^{{\prime}\;}+k^{\prime}a^{\prime}b\;+\;\left(k^{\prime}\right)^2a^{\prime}b^{\prime}\\\left(ab^{\prime}-ba^{\prime}\right)\left(k-k^{\prime}\right)\;&=&\;0\;\;\;\;\;;\;\;ab^{\prime}-ba^{\prime}\neq\;0\\\Rightarrow\;\;k\;&=&\;k^{\prime}\end{array}
\frac{\left(a+ka^{\prime}\right)}{\left(a+k^{\prime}a^{\prime}\right)}\;=\;\frac{kc^{\prime}}c\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\frac{\left(a+ka^{\prime}\right)}{\left(a+ka^{\prime}\right)}\;=\;\frac{kc^{\prime}}c\;\;\;\;\;\;\;
k=\frac c{c^{\prime}}
AC විකර්ණයේ සමීකරණය,
\begin{array}{rcl}\left(ax+by\right)\;+\frac c{c^{\prime}}\left(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}\right)\;&=&\;0\\\left(ac^{\prime}+a^{\prime}c\right)x\;+\left(bc^{\prime}+b^{\prime}c\right)y\;+\;cc^{\prime}\;&=&\;0\end{array}
OABC රොම්බසයක් වීමට එහි විකර්ණ ලම්භක විට යුතුයි.
\left(ac^{\prime}-a^{\prime}c\right)x\;+\left(bc^{\prime}-b^{\prime}c\right)y\;-\;cc^{\prime}\;=\;0
\Rightarrow\;y\;=\;\left(\frac{a^{\prime}c-ac^{\prime}}{bc^{\prime}-b^{\prime}c}\right)x\;+\;\frac{cc^{\prime}}{\left(bc^{\prime}-b^{\prime}c\right)}
\therefore OB රේඛාවේ අනුක්‍රමණය=\;\;\left(\frac{a^{\prime}c-ac^{\prime}}{bc^{\prime}-b^{\prime}c}\right)
\left(ac^{\prime}+a^{\prime}c\right)x\;+\;\left(bc^{\prime}+b^{\prime}c\right)y\;+cc^{\prime}\;=\;0
y=-\left(\frac{ac^{\prime}+a^{\prime}c}{bc^{\prime}+b^{\prime}c}\right)x\;-\;\frac{cc^{\prime}}{\left(bc^{\prime}+b^{\prime}c\right)}
\therefore AC රේඛාවේ අනුක්‍රමණය=\;-\;\left(\frac{ac^{\prime}+a^{\prime}c}{bc^{\prime}+b^{\prime}c}\right)
\text{OB විකර්ණයේ අනුක්‍රමණය×AC විකර්ණයේ අනුක්‍රමණය=-1}
\left(\frac{ac^{\prime}-ac^{\prime}}{bc^{\prime}-b^{\prime}c}\right)\cdot\left(-\right)\left(\frac{ac^{\prime}+a^{\prime}c}{bc^{\prime}+b^{\prime}c}\right)\;=\;-1
\left(a'c-ac'\right)\left(ac'+a'c\right)\;=\;\left(bc'-b'c\right)\left(bc'+b'c\right)
video links:-
