- එකක් අනෙකට සමාන්තර නොවූ ද,එකක් අනෙකට ලම්බ නොවූ ද,රේඛා දෙකක අනුක්‍රමණ m1 හා m2 යැයි ගනිමු.මේවා පිළිවෙලින් OX හි ධන දිශාව සමඟ \theta_1\text{හා}\theta_2 කෝණ සාදයි.
tan\theta_1=m_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;tan\theta_2=m_2
- සරල රේඛා දෙක අතර කෝණය කුමක් වුවත්, \alpha+\theta_2=\theta_1 වේ.
\Rightarrow\alpha=\theta_1-\theta_2
tan\alpha=tan(\theta_1-\theta_2)
\begin{array}{rcl}tan\alpha&=&tan(\theta_1-\theta_2)\\&=&\frac{tan(\theta_1)-tan(\theta_2)}{1+tan(\theta_1).tan(\theta_2)}\\&=&\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\\\alpha&=&\tan^{-1}\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)\end{array}\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}>0නම් සුළු කෝණයක් වන අතර එම අගය සෘණ නම්\theta මහා කෝණයක් වේ.
- \begin{array}{rcl}&&\theta\end{array}මගින් සරල රේඛා දෙකක් අතර සුළු කෝණය දක්වයි නම්,
\begin{array}{rcl}tan\theta&=&\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\end{array}
උදා : (1.) x + y = 0 හා 2x – y + 1 = 0 රේඛා දෙක අතර ඇති සුළු කෝණය 𝞹∕ 4 ට වැඩි බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}x+y&=&0\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;y=-x\end{array}
x + y = 0 රේඛාවේ අනුක්‍රමණය = -1
2x-y+1=0\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;y=2x+1
2x – y + 1 = 0 රේඛාවේ අනුක්‍රමණය = 2
සරල රේඛා දෙක අතර සුළු කෝණය \alpha නම්,
\begin{array}{rcl}\tan\alpha&=&\left|\frac{2-(-1)}{1+2\times(-1)}\right|\\\tan\alpha&=&3>1\end{array}
\begin{array}{rcl}&\Rightarrow&\tan\alpha>\tan\left(\pi/4\right)\end{array}
\begin{array}{rcl}\alpha&>&\pi/4\;\;\end{array}
දී ඇති සරල රේඛා දෙක අතර සුළු කෝණය \pi/4 ට වඩා වැඩි වේ.
උදා: (2)y-y_0=m(x-x_0)සරල රේඛාවy-y_0=m'(x-x_0);m\;\neq\;m' සමග 450 ක කෝණයක් සාදයි නම් m=\frac{1+m'}{1-m'} හෝ m=-\frac{1-m'}{1+m'} බව සාධනය කරන්න.
y-y_0=m(x-x_0)\Rightarrow y=mx+y_0-mx_0
y-y_0=m'(x-x_0)\Rightarrow y=m'x+y_0-m'x_0
tan\alpha=mtan\beta=m
\theta+\beta=\alpha
\Rightarrow\theta=\alpha-\beta
\begin{array}{rcl}\tan\theta&=&\tan(\alpha-\beta)\\&=&\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta\;}\\&=&\frac{m-m'}{1+mm'}\end{array}
\theta=45^0හෝ \theta=135^0වේ එවිට \tan\theta=\pm1\; වේ.
\pm1=\frac{m-m'}{1+mm'}
+සැලකීමෙන්,
\begin{array}{rcl}1&=&\frac{m-m'}{1+mm'}\\1+mm'&=&m-m'\\m(1-m')&=&1+m'\\m&=&\frac{1+m'}{1-m'}\end{array}
-සැලකීමෙන්,
\begin{array}{rcl}-1&=&\frac{m-m'}{1+mm'}\\-\left(1+mm'\right)&=&m-m'\\m(1+m')&=&m'-1\\m&=&-\left(\frac{1-m'}{1+m'}\right)\end{array}
සරල රේඛා දෙකක් සමාන්තරවීම සඳහා අවශ්‍යතාවය අපෝහනය
- y=m_1x+c_1 හා y=m_2x+c_2 සරල රේඛා දෙක අතර කෝණය \theta\; ලෙස ගනිමු.
tan\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}
- සරල රේඛා දෙක එකිනෙකට සමාන්තර වන විට \theta=0 හෝ \theta=\pi වේ. මෙවිට \tan\theta=0 වේ.
\begin{array}{l}\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=0\\{\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m_1=m_2}\end{array}
- සරල රේඛා දෙකක් සමාන්තර නම් සහ එනම් පමණක් ඒවායේ අනුක්‍රමණ සමාන වේ.
උදා :\begin{array}{l}3x-y-4=0\end{array} සරල රේඛාවට සමාන්තරව (1, 2) ලක්ෂ්‍ය හරහා යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්න.
- සරල රේඛා දෙක සමාන්තර විට ඒවායේ අනුක්‍රමණ සමාන වේ.
\begin{array}{l}\therefore\;\end{array}මෙම සරල රේඛාවට සමාන්තර (1, 2) ලක්ෂ්‍යය හරහා යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය,
\begin{array}{l}(y-2)=3(x-1)\\3x-y-1=0\end{array}
සරල රේඛා දෙකක් ලම්භකවීම සඳහා අවශ්‍යතාවය අපෝහනය
- y=m_1x+c_1 හා y=m_2x+c_2 සරල රේඛා දෙක අතර කෝණය \theta ලෙස ගනිමු.
tan\theta=\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}
- සරල රේඛා දෙක එකිකෙට ලම්භක වන විට \theta=\pi/2 වේ. මෙවිට \tan\theta ට අර්ථ නැත. මේ සඳහා 1+m_1m_2=0 විය යුතුයි.
1+m_1m_2=0\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;m_1m_2=-1
- සරල රේඛා දෙකක් එකිනෙකට ලම්භක නම් සහ එනම් පමණක් ඒවායේ අනුක්‍රමණ ගුණිතය -1 ක් වේ.
උදා : 2x-3y+1=0 සරල රේඛාවට ලම්භකව (-3, -4) ලක්ෂ්‍යයහරහා යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය සොයන්න.
දී ඇති සරල රේඛාවකට ලම්භක සරල රේඛාවක සමීකරණය,
3x+2y+k=0
මෙම සරල රේඛාව (-3, -4) ලක්ෂ්‍යය හරහා යන බැවින් එම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් තෘප්ත කරයි.
\begin{array}{l}3(-3)+2(-4)+k=0\\\Longrightarrow k=17\end{array}
අවශ්‍ය සරල රේඛාවේ සමීකරණය,
3x+2y+17=0
