03.02.05 – ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සරල රේඛාවක දෙපැත්තේ හෝ එකම පැත්තේ පිහිටීම සඳහා අවශ්‍යතාව

• A (x₁, y₁) හා B (x₂, y₂) ලක්ෂ්‍ය දෙක lx + my + n = 0 සරල රේඛාව අනුබද්ධයෙන් පිහිටන ආකාරය සලකා බලමු.

• AC∶CB=\lambda∶1 යැයි ගනිමු.

C\equiv(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}),(\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda})

• මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වලින්  lx +my +n = 0 තෘප්ත වේ.

\begin{array}{rcl}l\left(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\right)+m\left(\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right)+n&=&0\\l(x_1+λx_2 )+m(y_1+λy_2 )+n(λ+1)&=&0\\(lx_2+my_2+n)\lambda+lx_1+my_1+n&=&0\\\lambda&=&-\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}\end{array}

• A (x₁, y₁) හා B (x₂, y₂) ලක්ෂ්‍ය දෙක lx + my + n = 0 සරල රේඛාවේ දෙපැත්තේ පිහිටයි නම් c මගින් AB අභ්‍යන්තරව බෙදයි

\begin{array}{rcl}\lambda&>&0\\&&\\-\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}&>&0\\\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}&<&0\\&&\\\left(\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}\right)\times(lx_2+my_2+n)^2&<&0\\&&\\(lx_1+my_1+n)(lx_2+my_2+n)&<&0\end{array}

• A (x₁, y₁) හා B (x₂, y₂) ලක්ෂ්‍ය දෙක lx + my + n = 0 සරල රේඛාවේ එකම පැත්තේ පිහිටයි නම් c මගින් AB බාහිරව බෙදයි.

\begin{array}{rcl}\lambda&<&0\\&&\\-\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}&<&0\\&&\\\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}&>&0\\&&\\\left(\frac{(lx_1+my_1+n)}{(lx_2+my_2+n)}\right)(lx_2+my_2+n)^2&>&0\\&&\\(lx_1+my_1+n)(lx_2+my_2+n)&>&0\end{array}

උදා1: 2x-3y+1 රේඛාවට සාපේක්ෂව (2,3 )හා (-5,7) ලක්ෂ්‍යය එකම පැත්තේ ද දෙපැත්තේද යන්න සොයා බලමු.

E=(2\times2-3\times3+1)\lbrack2\times(-5)-3\times7+1\rbrack

\;\;\;=120>0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;

• එකම පැත්තේ පිහිටයි.

“The straight line, a respectable optical illusion which ruins many a man”
  -Victor Hugo-