- A (x0, y0) ලක්ෂ්‍යයේ සිට ax+by+c= 0 සරල රේඛාවට ඇති ලම්භ දුර සලකමු.
- A (x0, y0) ලක්ෂ්‍ය හරහා ax+by+c= 0 සරල රේඛාවට ඇති ලම්භක රේඛාව මත ඕනෑම P (x, y) ලක්ෂ්‍යය ලකුණු කරමු.
\begin{array}{rcl}\text{(AP අනුක්‍රමණය) (ax+by+c= 0 සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය)}&=&-1\\\left(\frac{y-y_0}{x-x_0}\right)\left(\frac{-a}b\right)\;&=&\;-1\end{array}</p> <p class="has-text-align-center">[latex]\frac{y-y_0}b\;=\;\frac{x-x_0}a\left(=t\;\text{ලෙස ගනිමු}\;\right)
මෙහි t යනු විචල්‍ය පරමිතියකි.
\frac{y-y_0}b\;=\;t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y\;=\;y_0+bt
\frac{x-x_0}a\;=\;t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\;=\;x_0+at
P ≡ {(x0+at), (y0 +bt)}
A ලක්ෂ්‍යයේ සිට ax + by + c = 0 සරල රේඛාවට ඇදි ලම්භකයේ අඩිය B ද, B ලක්ෂ්‍යට අනුරූප පරාමිතිය t0 ලෙසද ගනිමු.
B= {(x0+at0), (y0+bt0)}
මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් ax+by+c= 0 තෘප්ත වේ.
\begin{array}{l}a(x_0+at_0)+b(y_0+bt_0)+c=0\\(ax_0+by_0+c)+a^2t_0+b^2t_0=0\\{(ax_0+by_0+c)}+(a^2+b^2)\;t_0=0\\t_0=-\frac{(ax_0+by_0+c)}{(a^2+b^2)}\end{array}A ලක්ෂ්‍යයේ සිට ax+by+c= 0 සරල රේඛාවට ඇදි ලම්භ දුර d ලෙස ගනිමු.
\begin{array}{rcl}d^2&=&\left[(x_0+at_0\;)-x_0\right]^2+\left[(y_0+bt_0)-y_0\right]^2\&&\\d^2&=&t_0^2\left(a^2+b^2\right)\\&&\\d^2&=&\left[-\frac{\left(ax_0+by_0+c\right)}{\left(a^2+b^2\right)}\right]^2\left(a^2+b^2\right)\\&&\\d&=&\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)}}\;;\;d>0\end{array}උදා :(1.) t පරාමිතියක් විට x=t2, y=2t වන p≡ (x, y) ලක්ෂ්‍යයේ සිට l≡x+3y+8=0 රේඛාවට ඇති දුර අවමයක් වන P ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
P ලක්ෂ්‍යයේ සිට l=0 රේඛාවට ඇති කෙටිතම දුර d ලෙස ගනිමු.
\begin{array}{rcl}d&=&\frac{\left|\mathrm t^2+3\left(2\mathrm t\right)+8\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}\\d&=&\frac{\left|\left(\mathrm t+3\right)^2-1\right|}{\sqrt{10}}\end{array}
d අවම වනුයේ, t = -3 වන විටදීය.
\thereforeආසන්නතම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක (9, -6) වේ
සමාන්තර සරල රේඛා අතර දුර සෙවීම.
- ax+by+c=0 හා ax+by+c’=o යන සමාන්තර සරල රේඛා අතර දුර සෙවීම.
- ax + by + c’ = 0 රේඛාව මත (x0, y0) ලක්ෂ්‍ය සලකමු. මෙම ලක්ෂ්‍යයේ සිට ax + by + c = 0 සරල රේඛාවට ඇති ලම්භක දුර වන d දී ඇති සමාන්තර සරල රේඛා අතර දුර වේ .
\mathrm d=\frac{\left|{\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0+\mathrm c\right|}{\sqrt{\mathrm a^2+\mathrm b^2}}
(x0, y0) මගින් ax+by+c’=0 තෘප්ත වේ.
\begin{array}{rcl}ax_0+by_0+c'&=&0\\ax_0+by_0&=&-c’\end{array}
\therefore\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm d\;=\;\frac{\left|\mathrm c-\mathrm c'\right|}{\sqrt{\mathrm a_2+\mathrm b_2}}\;\;\;\;
උදා :(1) 4x - 3y – 4 = 0 සහ මෙම සරල රේඛාවට සමාන්තරව (3 , -2) ලක්ෂ්‍යය හරහා යන සරල රේඛාව අතර දුර සොයන්න .
(3, -2) ලක්ෂ්‍යය l1 = 0 රේඛාව මත බැවින් එම ඛණ්ඩාංකය මගින් සමීකරණය තෘප්ත වේ.
4(3) –3( -2) +k =0
k= -18
l1=0 සරල රේඛාවේ සමීකරණය 4x -3y -18=0 වේ.
\begin{array}{rcl}\mathrm d\;&=&\;\frac{\left|\mathrm c-\mathrm c'\right|}{\sqrt{\mathrm a_2+\mathrm b_2}}\\\mathrm d\;&=&\;\frac{\left|-18-\left(-4\right)\right|}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\\\mathrm d\;&=&\;\frac{14}5\end{array}
“Mathematics is the most beautiful and most powerful creation of the human spirit.”
-Stefan Banach
