රේඛාවක් තුළින් ලක්ෂ්‍යයක ප්‍රතිබිම්බයේ ඛණ්ඩාංක සෙවීම.
- P ≡ (󠄐 α ,β ) ලක්ෂ්‍යය lx + my + n = 0 සරල රේඛාව අනුබද්ධයෙන් පිහිටන ආකාරය සලකා බලමු.
- lx + my + n = 0 රේඛාව තුළ P ≡ (󠄐 α , β ) ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිබිම්බය Q ≡ (x0,y0) යැයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}\text{( AB අනුක්‍රමණය ) . ( 2x+y–2=0 සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය)}&=&-1\\\left(\frac{y_0-\beta}{x_0-\alpha}\right)\;.\;\left(-\frac lm\right)&=&-1\\\frac{y_0-\beta}{x_0-\alpha}&=&\frac ml\\\frac{y_0-\beta}m&=&\frac{x_0-\alpha}l\text{ ( = t යැයි ගනිමු. )}\end{array}
මෙහි t යනු විචල්‍ය පරාමිතියකි.
⟹ \frac{y_0-\beta}m = t , ⟹ y0 = β + mt
⟹ \frac{x_0-\alpha}l = t , ⟹ x0 = α + lt
∴ Q ≡ (α + lt , β + mt ) වේ.
- PQහි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය R යැයි ගනිමු.
R≡ \left(\frac{x_0+\alpha}2,\frac{y_0+\beta}2\right)
R≡ ( α + lt∕2 , β +mt∕2 )
- මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් lx + my + n = 0 තෘප්ත වේ.
∴ l ( α + lt∕2) + m (β + mt∕2 ) = 0
2lα + l2t + 2mβ + m2t +2n =0
⟹ t =-2\left(\frac{l\alpha+m\beta+n}{l^2+m^2}\right)
∴ lx + my + n = 0 හි ප්‍රතිබිම්බයේ ඛණ්ඩාංක (α +lt , β +mt ) වේ.මෙහි t = -2\left(\frac{l\alpha+m\beta+n}{l^2+m^2}\right) වේ.
උදා; 2x + y = 2 සරල රේඛාව තුළින් A≡ (1,2) ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිබිම්බයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
2x + y – 2 = 0 රේඛාව තුළින් A≡ (1,2) ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිබිම්බයේ ඛණ්ඩාංක B( xB ,yB) යැයි ගනිමු.
\begin{array}{rcl}\text{( AB අනුක්‍රමණය ) . ( 2x+y–2=0 සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය)}&=&-1\\\frac{\left(y_B-2\right)}{\left(x_B-1\right)}\;.\;(-2)&=&-1\\\frac{\left(y_B-2\right)}{\left(x_B-1\right)}&=&\frac12\\\frac{\left(y_B-2\right)}1&=&\frac{\left(x_B-1\right)}2=t\;\text{යැයි ගනිමු. }\end{array}⟹ yB = 2 + t ; xB = 1 + 2t
∴ B≡ ( 1 + 2t , 2 + t ) AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය C යැයි ගනිමු.
C ≡ ( 1 + t , 2+ t∕2 )
මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක මගින් 2x + y – 2 = 0 සමීකරණය තෘප්ත වේ.
2 ( 1 + t ) + 2 ( 2 + t∕2 ) – 2 = 0
⟹ t = -4∕5
∴ B ≡ (-3∕5 , 6∕5 ) වේ.
වෘත්තයක් මත තෝරාගත් අහඹු ලක්ෂ්‍ය 3 ක් යා කළ විට ත්‍රිකෝණයක් ලැබේ. වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය මෙම ත්‍රිකෝණය ඇතුලේ හෝ ත්‍රිකෝණයෙන් පිටත තිබෙන්න ඉඩ තිබේ.
වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය මෙම ත්‍රිකෝණය ඇතුලේ අන්තර්ගත වීමේ සම්භාවිතාවය කුමක්ද?
