ඔබ ගමනක් යාමට ආරම්භ කලා යැයි සිතන්න. ඔබ ගමනේ මුළු දුරෙන් ක් ගෙවා ගිය පසු ඔබට තව ක දුරක් ගමන් කිරීමට ඉතුරුව තිබෙනවා. එතැන් සිට තව ක් ගමන් කල විට ඔබට තවදුරටත්, මුළු දුරෙන් ක් ගමන් කිරීමට ඉතුරුව තිබෙනවා. මෙලෙස සෑම විටම ඔබට මුළු දුරෙන් \frac12ක්,\;\;\frac14\;ක්,\;\;\frac18\;ක්,\frac1{16}\;ක්\dots.\; යනාදී වශයෙන් තවත් කොටසක් ගමන් කිරීමට ඉතුරු වෙලා තියෙනවා.
මෙහෙම බැලුවොත් කොච්චර දුර ගියත් තවත් කොටසක් ගමන් කරන්න ඉතුරු වෙලා තියනවා නේද?
කවදාවත් මේ ගමන අවසන් කරන්න බැරි වෙනවා නේද?
සීමා පිළිබඳ දැනුම භාවිතයෙන් මේ ප්රශ්නයට විසඳන්න ඔයාට පුළුවන්ද?
මුළු දුර ඒකක 1ක් ලෙස ගත්තොත්,
ගෙවා යාමට සිදුවන මුළු දුර d යන්න \frac12,\;\;\frac14\;,\;\;\frac18\;,\frac1{16}\;\dots.\; යනාදී කොටස් අපරිමිත ගණනක එකතුවට සමාන වෙනවා.
d=\frac12,\;\;\frac14\;,\;\;\frac18\;,\frac1{16}\;\dots.\;
ශ්රේඪි පිළිබඳ දැනුම භාවිතයෙන් කොටස් n ගණනක් දක්වා එකතුව සලකමු.
\begin{array}{rcl}S_n&=&\sum_{r=1}^n\;\frac1{2^r}\;=\;\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}….+\frac1{2^{n-1}}+\frac1{2^n}\\2S_n&=&1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}….+\frac1{2^{n-1}}\\ S_n&=&1-\frac1{2^n}\end{array}
දැන්, කොටස් අපරිමිත ගණනක් සැලකූ විට,
\begin{array}{rcl}S_\infty&=&\lim_{n\rightarrow\infty}(\sum_{r=1}^n\;\frac1{2^r})\;=\;\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac1{2^n})=1\end{array}
ගෙවා යාමට සිදුවන මුළු දුර කොටස් අපරිමිත ගණනකින් සමන්විත වුණත් අවසානයේ එම කොටස්වල එකතුව පරිමිත සංඛ්යාවක් වෙන බව පැහැදිලියි නේද?