x\geq1 සඳහා y=\frac1x වක්‍රය x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කිරීමෙන් සෑදෙන ඝණ වස්තුව සලකන්න.
1.එම ඝණ වස්තුවේ පරිමාව සොයන්න.( y=f(x) වන ඝෘණ නොවන වක්‍රයක් x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කිරීමෙන් සෑදෙන ඝණ වස්තුවේ පරිමාව මෙම සමීකරණයෙන් ලබා දේ. v=\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}{\mathrm f{(\mathrm x)}^2}\;\mathrm{dx}\;;\;\mathrm a\leq\mathrm x\leq\mathrm b )
2.y=f(x) වන ඝෘණ නොවන වක්‍රයක් x අක්ෂය වටා භ්‍රමණය කිරීමෙන් සෑදෙන ඝණ වස්තුවක මතුපිට වර්ගඵලය පහත සමීකරණයෙන් ලබා දේ.
A=2\mathrm\pi\int_{\mathrm a}^{\mathrm b}\mathrm f(\mathrm x)\;\sqrt{1+{{\mathrm f^/(\mathrm x)}}^2}\;\mathrm{dx}\;;\;\mathrm a\leq\mathrm x\leq\mathrm b
ඉහත දැක්වෙන් ඝණ වස්තුවට අසීමිත වර්ගඵලයක් හා සීමිත පරිමාවක් ඇති බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{rcl}1.පරිමාව\;&=&\mathrm\pi\int_1^\infty\left(\frac1{\mathrm x}\right)^2\;\mathrm{dx}\\&=&\mathrm\pi\int_1^\infty\frac1{\mathrm x^2}\;\mathrm{dx}\\&=&\mathrm\pi\int_1^\infty\mathrm x^{-2}\;\mathrm{dx}\\&=&\mathrm\pi\left[-\mathrm x^{-1}\right]_1^\infty\\&=&-\mathrm\pi\left[\frac1{\mathrm x}\right]_1^\infty\\&=&-\mathrm\pi\left(\frac1\infty-\frac11\right)\\&=&\mathrm\pi\end{array}
\begin{array}{rcl}2.f(x)&=&\frac1x\\&&x\;විෂයෙන්\;අවකලනයෙන්,\\f^{'}(x)\;&=&-1x^{-2}\\&=&-\frac1{x^2}\\වර්ගඵලය&=&2\pi\;\int_1^\infty\frac1x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\;dx\\\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}&<&1\;නිසා,\\වර්ගඵලය&=&2\mathrm\pi\int_1^\infty\frac1{\mathrm x}\mathrm{dx}\\\mathrm A&=&2\mathrm\pi\left[\mathrm{lnx}\right]_1^\infty\\&=&2\mathrm\pi\left[\ln\infty-\ln1\right]\\\mathrm A&\rightarrow&\infty\\&&\\&&\end{array}
ඒ අනුව මෙම ඝණ වස්තුව ඝණ ඒකක \mathrm\pi වන සීමිත පරිමාවකින් හා \infty දක්වා දිවෙන අසීමිත වර්ගඵලයකින් සමන්විත වේ.
