05.03.00 - සාමූහිත සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්ති - Advanced Level Science Stream – LearnSteer

සමූහිත සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක මධ්‍යන්‍යය හා සම්මත අපගමනය

මධ්‍යන්‍යය $\left(\;\overline x\;\right)=\frac{\sum_{}f_ix_i}{\sum_{}f_i}$

සම්මත අපගමනය $\left(\sigma\right)=\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(x_i-\overline x\right)^2}{\sum_{}f_i}}$

x_i-i වැනි පන්තියේ පන්ති ලකුණ හෙවත් පන්ති මධ්‍ය අගය වේ.

f_i-i වැනි පන්තියට අනුරූප සංඛ්‍යාතය

\begin{array}{rcl}\sigma\;&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(x_i-\overline x\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(x_i^2-2x_i\overline x+\overline x^2\right)}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_{i\;}x_i^2-2\overline x\sum_{}f_i\;+\overline x^2\;\sum_{}f_i}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_{i\;}x_i^2}{\sum_{}f_i}-\frac{2\overline x\sum_{}f_i}{\sum_{}f_i}+\overline x^2}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_{i\;}x_i^2}{\sum_{}f_i}-2\overline x^2+\overline x^2}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_{i\;}x_i^2}{\sum_{}f_i}-\overline x^2}\\&&\\&&\\&&\end{array}

උදා (01): අහස් යානයක් ගමන් 80 කදී ගෙන යන ලද මගීන් සංඛ්‍යා පෙන්නුම් කෙරෙන ව්‍යාප්තියක් පහතින් දැක්වේ. මෙම ව්‍යාප්තියේ මධ්‍යයන්ය හා සම්මත අපගමනය සොයන්න.

මගීන්	10-22	23-35	36-48	49-61	62-74	75-87	88-100
ගමන් සංඛ්‍යාව	4	14	15	16	21	7	3

පන්ති ප්‍රන්තරය	මධ්‍ය අගය (x)	සංඛ්‍යාතය (f)	‌fx	fx²
10-22	16	4	64	1024
23-35	29	14	406	1774
36-48	42	15	630	28460
49-61	55	16	880	48400
62-74	68	21	1428	97104
75-87	81	7	567	45927
88-100	94	3	282	26508
		80	4257	257197

\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}\left(\;\overline x\;\right)\;&=&\frac{\sum_{}f_ix_i}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&\frac{4257}{80}\\&&\\&=&53.2125\\&&\\&&\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}\left(‍\sigma\right)&=&\sqrt{\frac{\sum f_ix_i^2}{\sum f_i}-\left(\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}\right)^2\;}\\&=&\sqrt{\frac{257197}{80}-\frac{\left(4257\right)^2}{6400}}\\&=&19.58\end{array}

xi=A+di යන කේත යෙදීමේ ක්‍රමය භාවිත කරමු

$\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}\left(\;\overline x\;\right)&=&\frac{\sum_{}f_ix_i}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&\frac{\sum_{}f_i\left(A+d_i\right)}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&A\frac{\sum_{}f_i}{\sum_{}f_i}+\frac{\sum_{}f_id_i}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&A+\overline d\\&&\\&&\\&&\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}\left(\sigma\right)\;&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(x_i-\overline x\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\&&\\\;&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\;\left(A+d_i-\left(A+\overline d\right)\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(d_i-\overline d\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(d_i^2-2d_i\overline d+\overline d^2\right)}{\sum_{}f_i}}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_id_i^2}{\sum_{}f_i}-2\overline d^2+\overline d^2}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_id_i^2}{\sum_{}f_i}-\overline d^2}\\&&\end{array}$

$\overline x\;=\;A+\frac{\sum_{}f_d}{\sum_{}f}$

$\sigma=\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_d^2}{\sum_{}f}-\left(\frac{\sum_{}f_d}{\sum_{}f}\right)^2}$

$d=\;x-A$

මෙම ක්‍රමයට ඉහත ගැටළුව විසඳමු

පන්ති ප්‍රන්තරය	මධ්‍ය අගය (x)	d=x-55	සංඛ්‍යාතය (f)	fd	fd²
10-22	16	-39	4	-156	6084
23-35	29	-26	14	-364	9464
36-48	42	-13	15	-195	2535
49-61	55	0	16	0	0
62-74	68	13	21	273	3549
75-87	81	26	7	182	4732
88-100	94	39	3	117	4563
			80	-143	30927

\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}(\overline x)\;&=&\;A+\frac{\sum_{}f_d}{\sum_{}f}\\&&\\&=&\;55-\frac{143}{80}\\&&\\&=&55-1.7875\\&&\\&=&53.2125\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}(\sigma)&=&\;\sqrt{\frac{\sum_{}f_d^2}{\sum_{}f}-\left(\frac{\sum_{}f_d}{\sum_{}f}\right)^2}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{30927}{80}-\frac{19449}{6400}}\\&&\\&=&\frac1{80}\sqrt{2554711}\\&&\\&=&19.58\end{array}

x_i=A+Cd_i යන කේත යෙදීමේ ක්‍රමය භාවිත කරමු

$\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}\left(\;\overline x\;\right)&=&\frac{\sum_{}f_ix_i}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&\frac{\sum_{}f_i\left(A+Cd_i\right)}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&A\frac{\sum_{}f_i}{\sum_{}f_i}+C\frac{\sum_{}f_id_i}{\sum_{}f_i}\\&&\\&=&A+C\overline d\\&&\\&&\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}\left(\sigma\right)&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(x_i-\overline x\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\\\&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(A+Cd_i-\left(A+C\overline d\right)\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\\\&=&\sqrt{\frac{\sum_{}f_iC^2\left(d_i-\overline d\right)^2}{\sum_{}f_i}}\\\\&=&C\sqrt{\frac{\sum_{}f_i\left(d_i^2-2d_i\overline d+\overline d^2\right)}{\sum_{}f_i}}\\\\&=&C\sqrt{\frac{\sum_{}f_id_i^2}{\sum_{}f_i}-2\overline d^2+\overline d^2}\\\\&=&C\sqrt{\frac{\sum_{}f_id_i^2}{\sum_{}f_i}-\overline d^2}\\\end{array}$

$\overline x=A+\;C\frac{\sum_{}fd^2}{\sum_{}f}$

$\sigma=C\sqrt{\frac{\sum_{}fd^2}{\sum_{}f}-\left(\frac{\sum_{}f_d}{\sum_{}f}\right)^2}$

$d=\frac{x-A}C$

මෙම ක්‍රමයට ඉහත ගැටළුව විසඳමු

පන්ති ප්‍රාන්තරය	මධ්‍ය අගය (x)	d=x-5513	සංඛ්‍යාතය (f)	fd	fd²
10-22	16	-3	4	-12	36
23-35	29	-2	14	-28	56
36-48	42	-1	15	-15	15
49-61	55	0	16	0	0
62-74	68	1	21	21	21
75-87	81	2	7	14	28
88-100	94	3	3	9	27
			80	-11	183

\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}(\overline x)&=&A+\;C\frac{\sum_{}fd^2}{\sum_{}f}\\&&\\&=&55+13\left(\frac{-11}{80}\right)\\&&\\&=&55-1.7875\\&&\\&=&53.2125\end{array}

\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}(\sigma)\;&=&\sqrt{\frac{\sum_{}fd^2}{\sum_{}f}-\left(\frac{\sum_{}fd}{\sum_{}f}\right)^2}\\&&\\&=&\sqrt{\frac{183}{80}-\frac{121}{6400}}\\&&\\&=&\frac{13}{80}\sqrt{14519}\\&&\\&=&19.58\end{array}

සමූහිත සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක මාතය

\frac{M_0-L_1}{\triangle_1}=\frac{L_2-M_0}{\triangle_2}\;;\;L_2=L_1+C

\begin{array}{rcl}&&\begin{array}{rcl}M_0\triangle_2-L_1\triangle_2&=&L_2\triangle_1-M_0\triangle_1\end{array}\\&&\\&&\begin{array}{rcl}M_0\left(\triangle_1+\triangle_2\right)&=&L_2\triangle_1+L_1\triangle_2\end{array}\\&&\\M_0&=&\frac{L_2\triangle_1+L_1\triangle_2}{\triangle_1+\triangle_2}\\&&\\M_0&=&\frac{\left(L_1+C\right)\triangle_1+L_1\triangle_2}{\triangle_1+\triangle_2}\\&&\\M_0&=&\frac{L_1\left(\triangle_1+\triangle_2\right)+C\triangle_1}{\triangle_1+\triangle_2}\\&&\\M_0&=&L_1+\left(\frac{\triangle_1}{\triangle_1+\triangle_2}\right)C\end{array}

L₁– මාත පන්තියේ යටත් පන්ති මායිම

$\triangle_1$ – මාත පන්තියේ සංඛ්‍යාතයත් මාත පන්තියට පහල පන්තියේ සංඛ්‍යාතය අතර වෙනස

$\triangle_2$ – මාත පන්තියේ සංඛ්‍යාතයත් මාත පන්තියට ඉහල පන්තියේ සංඛ්‍යාතය අතර වෙනස

C– මාත පන්තියේ තරම

M₀– මාතය

ඉහත සලකන ගැටළුව සඳහා මාතය ගණනය කරමු.

මාත පන්තිය =62-74

\frac{M-61.5}{21-7}=\frac{74.5-M}{21-7}

(M-61.5)(21-7)=(74.5-M)(21-16)

19M=1233.5

M=64.92

සමූහිත සංඛ්‍යා ව්‍යාප්තියක මධ්‍යස්ථය, පළමු චතුර්ථකය, තුන්වන චතුර්ථකය හා අන්තස් චතුර්ථක පරාසය

සමූහිත සංඛ්‍යා ව්‍යාප්තියක මධ්‍යස්ථය(දෙවන චතුර්තකය)

\frac{\displaystyle M-L_1}{\displaystyle\frac{\sum_{}f}2-\left({\textstyle\sum_{}f}\right)}=\frac{L_2-L_1}{f_m}\;\;\;\;;L_2-L_1=C,{\textstyle\sum_{}}{\textstyle f}{\textstyle=}{\textstyle n}

M-L_1=\frac C{f_m}\left[\frac n2+{\left({\textstyle\sum_{}}f\right)}_1\right]

M=L_1+\frac C{f_m}\left[\frac n2+{\left({\textstyle\sum_{}}f\right)}_1\right]

M=L_1+\left[\frac n2+{\left({\textstyle\sum_{}}f\right)}_1\right]C

L₁– මධ්‍යස්ථ පන්තියේ යටත් පන්ති මායිම

n- මුළු සංඛ්‍යාතය

${\left({\textstyle\sum_{}}f\right)}_1$ – මධ්‍යස්ථ පන්තියට පහලින් ඇති පන්තිවල සංඛ්‍යාත වල එකතුව

f_m– මධ්‍යස්ථ පන්තියට අනුරූප සංඛ්‍යාතය

C– මධ්‍යස්ථ පන්තියේ තරම

M– මධ්‍යස්ථය

උදා (01): අහස් යානයක් ගමන් 80 කදී ගෙන යන ලද මගීන් සංඛ්‍යා පෙන්නුම් කෙරෙන ව්‍යාප්තියක් පහතින් දැක්වේ. මෙම ව්‍යාප්තියේ මධ්‍යයන්ය හා සම්මත අපගමනය සොයන්න.

මගීන්	10-22	23-35	36-48	49-61	62-74	75-87	88-100
ගමන් සංඛ්‍යාව	4	14	15	16	21	7	3

පන්ති ප්‍රන්තරය	සංඛ්‍යාතය (f)	සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය
10-22	4	4
23-35	14	18
36-48	15	33
49-61	16	49
62-74	21	70
75-87	7	70
88-100	3	80