05.04.00- ව්‍යාප්තියක හැඩය පිළිබඳ මිනුම්

කුටිකතාවය 

ධන කුටිකතාවය 

• මධ්‍යන්‍යය > මධ්‍යස්ථය

සමමිතික ව්‍යාප්තිය

• මධ්‍යන්‍යය = මධ්‍යස්ථය

ඍණ කුටිකතාවය

• මධ්‍යන්‍යය  <  මධ්‍යස්ථය

කුටිකතා සංගුණකය

  පියර්සන්ගේ කුටිකතා සංගුණකය= =\dfrac{3\left(\text{මධ්‍යන්‍යය}\;-\text{මධ්‍යස්ථය}\right)}{\text{සම්ම්ත අපගමනය}}

හෝ            

පියර්සන්ගේ කුටිකතා සංගුණකය= =\dfrac{\text{මධ්‍යන්‍යය}-\text{මාතය}}{\text{සම්මත අපගමනය}}

 ලෙස අර්ථ දක්වයි.

උදා: පහත ව්‍යාප්තියේ හැඩය නිර්ණය කරන්න.

පන්ති ප්‍රාන්තර	50-54	55-59	60-64	65-69	70-74	75-79	80-84	85-89	90-94	95-99
සංඛ්‍යාතය	3	07	15	38	41	35	21	16	14	10

• මෙහිදී හැඩය නිර්ණය කිරීම යනුවෙන් අදහස් වන්නේ කුටිකතාවය පරික්ෂා කොට ධන, ඍණ හෝ සමමිතික බව ප්‍රකාශ කිරීමයි.

පන්ති ප්‍රාන්තර	සංඛ්‍යාතය	සමුච්චිත සංඛ්‍යාතය	පන්ති ලකුණ	d=x-725	fd	fd2
50-54	3	3	52	-4	-12	48
55-59	7	10	57	-3	-21	63
60-64	15	25	62	-2	-30	60
65-69	38	63	67	-1	-38	38
70-74	41	104	72	0	0	0
75-79	35	139	77	1	35	35
80-84	21	160	82	2	42	84
85-89	16	176	87	3	48	144
90-94	14	190	92	4	56	224
95-99	10	200	97	5	50	250
	∑f=200		∑fd=130	∑fd2= 946

                                                             මධ්‍ය පන්තිය = 70 -74

\dfrac{M-69.5}{100-63}=\dfrac{74.5-69.5}{104-63}\;\Rightarrow\;M=74.0121

                                     මධ්‍යස්ථය ආසන්න පළමු දශමස්ථානයට, M=74.0

\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යන්‍යය}\;,\overline x\;&=&5\dfrac{\sum_{}fd}{\sum_{}f}+72\\&&\\&=&5\times\frac{130}{200}+72\\&&\\&=&75.25\\&&\end{array}

මධ්‍යන්‍යය  ආසන්න පළමු දශමස්ථානයට, \begin{array}{rcl}&&\overline x\end{array}=75.3

\begin{array}{rcl}\text{සම්මත අපගමනය}\;\;\sigma\;&=&\;5\sqrt{\dfrac{\sum_{}fd^2}{\sum_{}f}-\left(\dfrac{\sum_{}fd}{\sum_{}f}\right)^2}\\&&\\&=&\;5\sqrt{\dfrac{946}{200}-\left(\dfrac{130}{200}\right)^2}\\&&\\&=&\;10.377\end{array}

සම්මත අපගමනය ආසන්න පළමු දශමස්ථානයට, σ=10.4

\begin{array}{rcl}\text{කුටිකතා සංගුණ්කය}\;&=&\dfrac{3\left(75.3-74\right)}{10.4}\\&&\\&=&0.375\;>\;0\end{array}

                                       එනම් ධන කුටිකතාවයක් ඇත. එනම් දකුණට කුටික වේ.

කිටු විචලතාවය හා කිටු මධ්‍යන්‍ය

• නිරීක්ෂණ n₁ ගණනක් ඇති සංඛ්‍යා කුලකයක,  මධ්‍යන්‍යය {\overline x}_1 හා සම්මත අපගමනය\sigma_1 වේ. නිරීක්ෂණ  n₂ ගණනක්  ඇති සංඛ්‍යා කුලකයක,  මධ්‍යන්‍යය {\overline x}_2 හා සම්මත අපගමනය \sigma_2 වේ. මෙම කුලක දෙකෙහි සංයුක්තයෙන් සෑදෙන නිරීක්ෂණ n₁ + n₂ ගණනක් ඇති සංඛ්‍යා කුලකයේ නව මධ්‍යන්‍යය \;\overline x\; හා විචලතාවය \sigma^2 ද නම්,

පළමු නිරීක්ෂණ කුලකයේ,{\overline x}_1\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1}}x_i}{n_1}\;\Rightarrow n_1\;{\overline x}_1\;=\;\sum\limits_{i=1}^{n_1}x_i

 

දෙවන නිරීක්ෂණ කුලකයේ,{\overline x}_2\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2}}x_i}{n_2}\;\Rightarrow n_2\;{\overline x}_2\;=\;\sum\limits_{i=1}^{n_2}x_i

සංයුක්ත දත්ත කුලකය සැලකීමෙන්, \overline x\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1}}x_i+{\displaystyle\overset{n_2}{\underset{i=1}{\sum x_i}}}}{n_1+n_2}\;\Rightarrow\;\;\overline x\;=\;\dfrac{n_1{\overline x}_1+n_2{\overline x}_2}{n_1+n_2}

මෙම සංයුක්ත දත්ත කුලකයේ මධ්‍යන්‍යය කිටු මධ්‍යන්‍යය ලෙස හඳුන්වයි.

\sigma_1^2\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1}}x_i^2}{n_1}\;-{\overline x}1^2\;\Rightarrow n_1\;\left(\sigma_1^2+{\overline x}_1^2\;\right)=\sum\limits_{i=1}^{n_1}x_i^2 \sigma_2^2\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_2}}x_i^2}{n_2}\;-{\overline x}2^2\;\Rightarrow n_1\;\left(\sigma_2^2+{\overline x}_2^2\;\right)=\sum\limits_{i=1}^{n_2}x_i^2

සංයුක්ත දත්ත කුලකය සැලකීමෙන්,

\sigma^2\;=\;\dfrac{{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1+n_2}}x_i^2}{n_1+n_2}\;-\overline x^2\;\Rightarrow\;\sigma^2\;=\;\dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n_1}x_i^2+\sum_{i=1}^{n_2}x_i^2}{n_1+n_2}\;-\overline x^2\;

\sigma^2\;=\;\dfrac{1}{n_1+n_2}\left\lbrace\left\lbrack{n_1}\left(\sigma_1^2+\overline x_1^2\right)+n_2\left(\sigma_1^2+\overline x_2^2\right)\right\rbrack\;-\;\dfrac{n_1^2{\overline x}_1^2+n_2^2{\overline x}_2^2}{n_1+n_2}\;\right\rbrace

\sigma^2\;=\;\dfrac{1}{n_1+n_2}\left\lbrace\left\lbrack{n_1}\left(\sigma_1^2+\overline x_1^2\right)+n_2\left(\sigma_1^2+\overline x_2^2\right)\right\rbrack\;-\;\dfrac{\left\lbrack\left(n_1{\overline x}_1\right)^2+2n_1{\overline x}_1n_2{\overline x}_2+\left(n_2{\overline x}_2\right)\right\rbrack}{n_1+n_2}\;\right\rbrace

\sigma^2\;=\;\dfrac1{n_1+n_2}\left\lbrace{n_1}\sigma_1^2+n_2\sigma_1^2\;+\dfrac{n_1n_2}{n_1+n_2}\;\left({\overline x}_1^2-2{\overline x}_1{\overline x}_1+{\overline x}_2^2\right)\;\right\rbrace

\sigma^2\;=\;\dfrac1{n_1+n_2}\left\lbrace{n_1}\sigma_1^2+n_2\sigma_1^2\;+\dfrac{n_1n_2}{n_1+n_2}\;\left({\overline x}_1-+{\overline x}_2\right)^2\;\right\rbrace

• මෙම සංයුක්ත කුලකයේ විචලතාවය කිටු විචලතාවය නම් වේ.

කොටු-කෙඳි සටහන්

• චතුර්ථක අතර අගයන් කොටුවකින් ද ඉතිරි අගයන් රේඛා කණ්ඩ දෙකකින්ද දක්වනු ලබන අතර එම රේඛා කණ්ඩ කොටුවෙන් පිටත අන්ත ලක්ෂ දෙකෙන් වැඩිතම හා අඩුතම අගයන් දක්වනු ලැබේ.

උදා:

1. සමූහිත සංඛ්‍යාත ව්‍යාප්තියක පළමු චතුර්ථකය 37 ද, මධ්‍යස්ථය 54 ද, තෙවන චතුර්ථකය 68 ද, වැඩිතම අගය 94 ද, අඩුතම අගය 19 ද ලෙස දී ඇත්නම්, එහි කොටු කෙඳි සටහන පහතින් දැක්වේ.

• පිටත පිහිටීම් තිබේදැයි පරික්ෂා කරනුයේ \frac32\left(Q_3-Q_1\right)+Q_3\;\text{හා}\;Q_1-\frac32\left(Q_3-Q_1\right) යන ප්‍රාන්තර වලට පිටින් තිබේ දැයි සෙවීමෙනි.

ඉහත උදාහරණයට අනුව, 

\begin{array}{rcl}Q_3+\frac32\left(Q_3-Q_1\right)&=&68+\frac32\left(68-37\right)\\&=&114.5\end{array}

• 94  < 114.5 වන නිසා මෙහි වැඩිතම අගය ඇතුළත පිහිටයි. එනම් අවසානයෙන් පිටත පිහිටන අගයන් නොමැත.

\begin{array}{rcl}Q_1-\frac32\left(Q_3-Q_1\right)&=&37-\frac32\left(68-37\right)\\&=&-9.5\end{array}

• -9.5<19 එනම් ව්‍යාප්තියේ ආරම්භක අගයද ප්‍රාන්තරය තුළ පිහිටයි. එනම් ආරම්භයෙන් ද පිටත පිහිටන අගයන් නොමැත.

• එනම් දත්ත කුලකයම ඇතුළත පිහිටයි.

• මෙම ගැටළුවේ මෙසේ වුවද පිටත පිහිටන අගයන් සහිත සංඛ්‍යා ව්‍යාප්ති ද පවතී.

වෘන්ත පත්‍ර සටහන්

• අමු දත්ත කුලකයක මධ්‍යස්ථය සොයා ගැනීමට ඒවා ආරෝහණ හෝ අවරෝහණ ක්‍රමයට සැකසිය යුතුයි. 
• මාතය සෙවීමටද, එක සමාන අගයන් ඇති දත්ත එක් රැස් කළ යුතුයි. මෙය පහසු කර ගැනීමට වෘන්ත-පත්‍ර සටහන් යොදා ගනී.

• මෙහිදී පත්‍රයට දත්තයේ අවසාන ඉලක්කමත් අනෙක් ඉලක්කම් වෘන්තයටත් වෙන් කරයි.

උදාහරණයක් ලෙස 23 හි වෘන්තය 2 ද, පත්‍රය 3 ද වේ. 128 හි වෘන්තය 12 ද, පත්‍රය 8 ද වේ.

උදා–

1. පහත දී ඇති සංඛ්‍යා කුලකය සලකමු.

                   51,45,31,43,97,16,18,23,34,35,35,85,62,20,22,51,57,49,22,18,27

• මෙය මුලින්ම අමු දත්ත කුලකය ලබා දී ඇති පිළිවෙලට වෘන්ත පත්‍ර සටහනට පිටපත් කරන්න. 
• ඉන් පසු එම වෘන්ත පත්‍ර සටහන ආධාරයෙන් ආරෝහණ පිළිවෙලට යළි වෘන්ත පත්‍ර සටහන සකස් කරන්න. 
• පහතින් වම් පසින් පළමුව සකස් කළ වෘන්ත පත්‍ර සටහන ද, දකුණු පසින් දෙවනුව සකස් කළ සටහන ද දැක්වේ.

වෘන්ත	පත්‍ර
1	6 8 8
2	0 2 2 3 7
3	1 3 4 5
4	3 5 9
5	1 1 7
6	2
7
8	5
9	7

වෘන්ත	පත්‍ර
1	6 8 8
2	3 0 2 2 7
3	1 4 5 3
4	5 3 9
5	1 1 7
6	2
7
8	5
9	7

\begin{array}{rcl}\text{සංඛ්‍යාත එකතුව}&=&21\\text{මධ්‍යස්ථ පිහිටුම}&=&\frac{(21+1)}2\;\;\text{ වෙනි පිහිට්ම }\\\text{මධ්‍යස්ථය},Q_2&=&\text{සංඛ්‍යා කුලකය ආරෝහණ පිළිවෙලට සැකසූ විට 11 වෙනි පිහිට්මේ ඇති නිරීක්ෂිත අගය}\\&=&34\\\text{පළමු චතුර්ථකයට අදාළ පිහිටීම}&=&\frac{(21+1)}4\;\\&=&5.5\text{ වෙනි පිහිටීම}\end{array}

• මෙහිදී පළමු චතුර්ථකයට ලබාගනුයේ 5 වෙනි හා 6 වෙනි පිහිටුම් වලට අදාළ නිරීක්ෂිත අගයන් වල සමාන්තර මධ්‍යන්‍යයි.

\begin{array}{rcl}\text{පළමු චතුර්ථකය},\;Q_1&=&\frac{(22+22)}2\\&=&22\\\text{තෙවන චතුර්ථකයට අදාළ පිහිටීම}&=&\frac{3\;(21+1)}4\text{ වෙනි පිහිටුම}\;\\&=&16.5\;\text{වෙනි පිහිටුම}\end{array}

• මෙහිදී පළමු චතුර්ථකයට ලබාගනුයේ 16 වෙනි හා 17 වෙනි පිහිටුම් වලට අදාළ නිරීක්ෂිත අගයන් වල සමාන්තර මධ්‍යන්‍යයි.

\begin{array}{rcl}\text{තෙවන චතුර්ථකය},\;\;Q_3&=&\frac{(51+51)}2\\&=&51\end{array}

මෙම ව්‍යාප්තියට අදාළ කොටු කෙඳි සටහන පහතින් දැක්වේ.

\begin{array}{rcl}Q_3+\frac32(Q_3-Q_1)&=&51+\frac32(51-22)\\&=&94.5\end{array}

• 94.5 < 97   එම නිසා 97 පිටත පිහිටි අගයකි.

\begin{array}{rcl}Q_1-\frac32(Q_3-Q_1)&=&22-\frac32(51-22)\\&=&-21.5\end{array}

• -21.5 < 16 එනම් ආරම්භක පිටත පිහිටන අගයන් නොමැත.

2. i)  පහත දී ඇති අගය කුලකය සඳහා වෘන්ත පත්‍ර සටහන අඳින්න. ව්‍යාප්තියේ මධ්‍යස්ථය, පළමු චතුර්ථකය හා තුන්වන චතුර්ථකය සොයන්න.
3.  ii)  ව්‍යාප්තිය සඳහා කොටු-කෙඳි සටහනක් ඇඳ පිටත අගයන් පිහිටන්නේ දැයි නිර්ණය කරන්න.

54, 32, 47, 48, 51, 66, 56, 53, 61, 48, 44, 55, 51, 41, 43,

34, 47, 37, 56, 63, 48, 39, 52, 59, 44, 50, 54, 57, 59, 45

වෘන්ත	පත්‍ර
3	2 4 7 9
4	7 8 8 9 4 1 3 7 8 4 5
5	4 1 6 3 5 1 6 2 9 0 4 7 9
6	6 1 3
වෘන්ත	පත්‍ර
3	2 4 7 9
4	1 3 4 4 5 7 7 8 8 8
5	0 1 1 2 3 4 4 5 6 6 7 9 9
6	1 3 6

i) \begin{array}{rcl}\text{සංඛ්‍යාත එකතුව}&=&30\\\text{මධ්‍යස්ථ පිහිටුම}&=&\frac{(30+1)}2\;\text{වෙනි පිහිට්ම}\;\\&=&15.5\;\text{වෙනි පිහිටීම}\end{array}

• මෙහිදී මධ්‍යස්ථය ලබාගනුයේ 15 වෙනි හා 16 වෙනි පිහිටුම් වලට අදාළ නිරීක්ෂිත අගයන් වල සමාන්තර මධ්‍යන්‍යයි.

\begin{array}{rcl}\text{මධ්‍යස්ථය},\;Q_2&=&\frac{(50+51)}2\\&=&50.5\\\text{පළමු චතුර්ථකයට අදාළ පිහිටීම}&=&\frac{(30+1)}4\text{ වෙනි පිහිටීම}\\&=&7.75\;\text{වෙනි පිහිටීම}\end{array} \begin{array}{rcl}\text{පළමු චතුර්ථකය}\;,\;Q_1&=&\dfrac{3\times\left(8\;\text{වෙනි පිහිටීම}\right)+7\;\text{වෙනි පිහිටීම}}4\;\text{හෝ}\\&&\\Q_1&=&7\;\text{වෙනි පිහිටීම}\;+\dfrac34\left(8\;\text{වෙනි පිහිටීම}-7\;\text{වෙනි පිහිටීම}\right)\\&&\\&=&44\end{array} \begin{array}{rcl}\text{තෙවන චතුර්ථකයට අදාළ පිහිටීම }&=&\frac{3(30+1)}4\;\text{වෙනි පිහිටුම}\\&=&\;23.25\;\text{වෙනි පිහිටුම}\end{array} \begin{array}{rcl}\text{තෙවන චතුර්ථකය}\;,\;Q_3&=&\dfrac{3\times\left(23\;\text{වෙනි පිහිටීම}\right)+24\;\text{වෙනි පිහිටීම}}4\;\text{හෝ}\\&&\\Q_1&=&23\;\text{වෙනි පිහිටීම}\;+\dfrac14\left(24\;\text{වෙනි පිහිටීම}-23\;\text{වෙනි පිහිටීම}\right)\\&&\\&=&56\end{array}

ii) මෙම ව්‍යාප්තියට අදාළ කොටු කෙඳි සටහන පහතින් දැක්වේ.

\begin{array}{rcl}Q_3+\frac32(Q_3-Q_1)&=&56+\frac32(56-44)\\&=&74>66\\Q_1-\frac32(Q_3-Q_1)&=&44-\frac32(56-44)\\&=&26<32\end{array}

       එමනිසා කිසිම සංඛ්‍යාවක් පිටත නොපිහිටයි.