02.02.01.- දෘඪ වස්තුවල සමතුලිතතාවය

 

බල රූප සටහන් නිර්මාණය කර ගැනීම.

1. විශේෂ හැඩ ගත් වස්තූන්ගේ ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

• ගුරුත්වය පවත්වා ගත් ඕනෑම වස්තුවක් මත ගුරුත්වය යොදන බාහිර බලය එම වස්තුවේ බර වේ. මෙම බර එම වස්තුවේ ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය (G) හරහා සිරස්ව පහළට ක්‍රියා කරයි.

  1 kg\rightarrowg     (ගුරුත්වජ ත්වරණය)

  M kg\rightarrowMg     (ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය G හරහා සිරස්ව පහළට)

(1) ඒකාකාර දණ්ඩක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

ඒකාකාර දණ්ඩක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය දණ්ඩේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය මත පිහිටයි.

(2) ඒකාකාර ඝන ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

ඒකාකාර ඝන ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය ගෝලයේ කේන්ද්‍රය මත පිහිටයි.

(3) ඒකාකාර කුහර ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

ඒකාකාර කුහර ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය ගෝලයේ කේන්ද්‍රය මත පිහිටයි.

(4) ඒකාකාර ඝන අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

අරය a වන ඒකාකාර  ඝන අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය එහි සමමිතික අක්ෂය මත කේන්ද්‍රයේ සිට \frac{3a}8 දුරකින් පිහිටයි.

(5) ඒකාකාර කුහර අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

අරය a වන ඒකාකාර කුහර අර්ධ ගෝලයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය එහි සමමිතික අක්ෂය මත කේන්ද්‍රයේ සිට \frac a2 දුරකින් පිහිටයි.

(6) උස h වන ඒකාකාර ඍජු වෘත්ත ඝන කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

උස h වන ඒකාකාර ඍජු වෘත්ත ඝන කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය කේතුවේ අක්ෂය මත ශීර්ෂයේ සිට \frac{3h}4 දුරින් පිහිටයි.

(7) උස h වන ඒකාකාර ඍජු වෘත්ත කුහර කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

උස h වන ඒකාකාර ඍජු වෘත්ත කුහර කේතුවක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය කේතුවේ අක්ෂය මත ශීර්ෂයේ සිට \frac{2h}3 දුරින් පිහිටයි.

(8) ඒකාකාර ත්‍රිකෝණාකාර ආස්තරයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය

ඒකාකාර ත්‍රිකෝණාකාර ආස්තරයක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය ත්‍රිකෝණයේ කේන්ද්‍රය මත පිහිටයි.

ස්පර්ශයකදී ඇතිවන ප්‍රතික්‍රියාව (ස්පර්ශයක් නිසා ඇතිවන බලය)

යම් වස්තුවක් තවත් වස්තුවක් සමඟ ස්පර්ශව පවතින විට දෙවන වස්තුවෙන් පලමු වස්තුව මත බලයක් යෙදේ. මෙවිට පළමු වස්තුවෙන් දෙවන වස්තුව මතද විශාලත්වයෙන් සමාන දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධ එකම ක්‍රියා රේඛාවේ ඇති ප්‍රතික්‍රියාවක් යොදයි.

(නිව්ටන්ගේ තුන්වන නියමය)

1. සුමට ස්පර්ශයකදී වස්තුවක් මත ප්‍රතික්‍රියාව

• ස්පර්ශ පෘෂ්ඨය සුමට තල පෘෂ්ඨයක් නම් ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රතික්‍රියාව, සුමට තල පෘෂ්ඨයට ලම්භකව හට ගනී.

• ස්පර්ශ පෘෂ්ඨය සුමට වක්‍ර පෘෂ්ඨයක් නම් ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී ප්‍රතික්‍රියාව, ස්පර්ශ ලක්ෂ්‍යයේදී වක්‍ර පෘෂ්ඨයට ඇඳි ස්පර්ශකයට ලම්භකව හට ගනී.

• සුමට පෘෂ්ඨවලදී ඇතිවන ප්‍රතික්‍රියා සඳහා උදාහරණ කීපයක්

උදාහරණ: 01

උදාහරණ: 02

2. සුමට ඇණයකින්, සුමට තුඩකින්, සුමට ගැටියකින් හා පිහි දාරයක් මඟින් වස්තුවක් මත ප්‍රතික්‍රියාව

3. තන්තුවකින් වස්තුවක් මත ඇතිවන බලය

• වස්තුවකින් තන්තුවක බලයක් යෙදිය හැක්කේ එම තන්තුව දෙපසින් ඇදෙන පරිදි පද්ධතියට සම්බන්ධව ඇතිවිට වේ. තන්තුවක් මඟින් වස්තුවක් මත ඇති කරන ප්‍රතික්‍රියාව, තන්තුවේ ආතතිය නම් වේ.
• මෙම කොටස යටතේ සලකනු ලබන්නේ සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තු වේ. (බරක් නොමැති නොඇදෙන තන්තු)
• වස්තුවක් මත තන්තුව ඇති කරන ආතතිය සැමවිටම, ගැටී ඇති ස්ථානයේ සිට තන්තුව ඔස්සේ තන්තුව දෙසට ක්‍රියා කරයි.
• තවද එකම තන්තුවක ගැටී ඇති ස්ථාන දෙකක් ඔස්සේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ගොඩනැගෙන ආතතිය සමාන අගයක් වේ.

• තන්තු මඟින් ඇතිවන බල සඳහා තවත් උදාහරණ කීපයක්,

4. කප්පි මත ඇතිවන ආතති සඳහා උදාහරණ කීපයක් පහත දැක්වේ.

• තෙරපුම

05.සැහැල්ලු දණ්ඩක් මත බල ගොඩනැගෙන ආකාරය

• ආතතිය

• තෙරපුම

• සැහැල්ලු දණ්ඩ මෙම ආතතිය හෝ තෙරපුමට සැහැල්ලු දණ්ඩේ ප්‍රත්‍යා බලය නම් වේ.

6. අසව් කිරීමකදී ප්‍රතික්‍රියාව

• A අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාව R_A යැයි ගනිමු.

R_A = (X² + Y²) ^½

• අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාව සිරස සමඟ සාදන කෝණය  යැයි ගනිමු.

\tan\;\theta=\frac xy\;\Rightarrow\;\theta=\tan^{-1}\left(\frac yx\right)

වස්තූන් මත බල ඇතිවෙන විවිධ ආකාර

• බල දෙක කේන්ද්‍රයේදි හමු වේ

• විශේෂ බල යටතේ වස්තූන්ගේ සමතුලිතතාව

1.  බල දෙකක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක සමතුලිතතාව

බල දෙකක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක් සමතුලිත නම් එම බල විශාලත්වයෙන් සමානව දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධව එකම ක්‍රියා රේඛාවේ ක්‍රියා කළ යුතුය.

උදාහරණ ;

1. උස h වන ඍජු වෘත්ත ඒකාකාර ඝන කේතුවක් ශීර්ෂයේ සිට \frac h2 දුරකින් අක්ෂයට ලම්භක තලයක් ඔස්සේ කැපීමෙන් එහි කේතු ආකාර ඉවත් කර තිබේ. මෙසේ කේතු ආකාර ඉවත් කිරීමෙන් ලැබෙන ජින්තකය කුඩා වෘත්තාකාර මුහුණතේ දාරයක ලක්ෂ්‍යයකින් එල්ලා ඇත. ජින්තකය මත ක්‍රියා කරන බල දැක්වෙන රූප සටහනක් අඳින්න.

2. සමාන්තර ඒකතල බල තුනක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක සමතුලිතතාවය

P, Q හා R යන ඒකතල බල තුනක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක් සමතුලිතව ඇතැයි සිතමු.

OA = Q, OB = P වන පරිදි OACB සමාන්තරාස්‍රයකි.

OC = S වේ.

• P හා Q බලවල ක්‍රියා රේඛා O හිදී ඡේදනය වේ. දෘඪ වස්තුව මත ක්‍රියා කරන P හා Q බල දෙක, O ලක්ෂ්‍යය මත ක්‍රියා කරන බල දෙකක් සේ සලකා බල සමාන්තරාස්‍ර ප්‍රමේයයෙන් P හා Q බල දෙකෙහි සම්ප්‍රයුක්ත බලය වන S ලබා ගත හැක. දැන් දෘඪ වස්තුව P හා Q බල දෙකෙහි සම්ප්‍රයුක්ත බලය වන S හා R යන බල දෙක යටතේ සමතුලිතව පවතින නිසා මෙම බල විශාලත්වයෙන් සමානව දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධව එකම ක්‍රියා රේඛාවේ ක්‍රියා කළ යුතු වේ. මෙවිට R බලයේ ක්‍රියා රේඛාවද O හරහා යයි.
• අසමාන්තර ඒකතල බල තුනක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක් සමතුලිත නම් එම බල තුනෙහිම ක්‍රියා රේඛා ඒක ලක්ෂ්‍යය වේ.
• මෙම පොදු ලක්ෂ්‍යයෙන් ඉවතට වන පරිදි බල සලකුණු කළ විට ‘Y’ අකුරේ හැඩය ලබා ගනී.

• P බලය විශාලත්වයෙන්, දිශාවෙන් හා ක්‍රියා රේඛාවෙන් \overrightarrow{OA} මඟින්ද, Q බලය විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් පමණක් \overrightarrow{AC} මඟින්ද, R බලය විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් හා ක්‍රියා රේඛාවෙන් \overrightarrow{CO}  මඟින් දැක්විය හැකි නිසා, PQR යන බල තුන විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් පමණක් පහත පරිදි ත්‍රිකෝණයක අනුපිළිවෙලට ගත් පාද ඔස්සේ දැක්විය හැක.

බල ත්‍රිකෝණ ප්‍රමේයය

දෘඪ වස්තුවක් මත ක්‍රියා කරන අසමාන්තර බල තුනක් විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් ත්‍රිකෝණයක අනුපිළිවෙලට ගත් පාද ඔස්සේ දැක්විය හැකි නම් එම බල තුන යටතේ වස්තුව සමතුලිත වේ.

• බල ත්‍රිකෝණ ප්‍රමේයයේ විලෝමය

අසමාන්තර ඒකතල බල තුනක් යටතේ වස්තුවක් සමතුලිත නම් එම බල විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් ත්‍රිකෝණයක අනුපිළිවෙලට ගත් පාද ඔස්සේ දැක්විය හැකි වේ.

මෙම ප්‍රමේයයන්ට අදාළ උදාහරණ ගැටළු කීපයක් සලකා බලමු.

උදාහරණ ;

01. ස්කන්ධය 16 kg වූ 12 m දිග ඒකාකාර දණ්ඩක දෙකෙලවර A හා B ය. A කෙළවර සුමට සිරස් බිත්තියක ගැටෙමින් සිරස් තලයක දණ්ඩ සමතුලිතව තබා ඇත්තේ දණ්ඩේ පිහිටි C ලක්ෂ්‍යයට හා A ට සිරස් ලෙස 4m ඉහළින් පිහිටි D ලක්ෂ්‍යයකට සම්බන්ධ කොට ඇති තන්තුවක් මඟිනි. D\widehat AB = 30⁰  නම් දණ්ඩ හා බිත්තිය අතර ප්‍රතික්‍රියාවද, තන්තුවේ ආතතියද සොයන්න. (g=10ms^{-2} ලෙස ගන්න)

• D B = 30⁰  වන ලෙස AB දණ්ඩ සමතුලිතව පැවතිය හැක්කේ එක් ආකාරයකට පමණි. එවිට D\widehat AB උඩු සිරස සමඟ 30⁰  ක කෝණයක් සාදයි.

• බල තුන, R හිදී ඒක ලක්ෂ්‍යය වන බැවින් බල පද්ධතිය සමතුලිතව පවතී.

• දණ්ඩේ ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය G ලෙස ගනිමු.

AG Sin 30⁰  = AR ; AG = 6m බැවින්

6 Sin 30⁰  = AR

AR = 3m

A\widehat RD =  ලෙස ගනිමු. එවිට tan \theta=\frac{AD}{AR}  වේ.

එනම් tan\theta = \frac43 වේ.

ඉහත රූපයේ ඇඳි බල ත්‍රිකෝණයට අනුව tan \theta=\frac WP  වේ.

\frac43=\frac WP\;\Rightarrow P=\frac{3W}4

(මෙහි P යනු දණ්ඩ මත බිත්තියෙන් ඇති කරන ප්‍රතික්‍රියාවයි.)

\therefore P=\frac34\times160\:N=120\:N

 

Sin\;\theta\;=\frac WT

tan\theta = \frac43 බැවින්,

Sin\;\theta\;=\frac 45

\frac45=\frac WT

T=\frac {5W}4\rightarrow\frac 54×160 N=200 N (තන්තුවේ ආතතිය)

උදාහරණ 02:

W බරැති ඒකාකාර දණ්ඩක දෙකෙළවර A හා B ය. A හිදී දණ්ඩ අචල ලක්ෂ්‍යයකට අසව් කොට ඇත. B ලක්ෂ්‍යයේදී යෙදෙන තිරස් P බලයක් නිසා දණ්ඩ තිරසට 30  කින් ආනතව සිරස් තලයක සමතුලිතතාවයේ තිබේ නම් P වල අගයද අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාවද සොයන්න.

                               R (අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාව)

                       (වැරදි ආකාරය)

නිවැරදි ආකාරය

• දණ්ඩ අසමාන්තර ඒකතල බල තුනක් යටතේ සමතුලිත වේ.
• දණ්ඩේ දිග 2a ලෙස ගනිමු.

මෙම බල ත්‍රිකෝණය සඳහා, \tan\;\theta=\frac WP වේ. – (1)

තවද මෙම බල ත්‍රිකෝණයම ACO ත්‍රිකෝණයේ ආකාර ගනී. එබැවින්, DG = AG cos 30⁰ වේ.

DG = CO බැවින්, CO = AG cos 30⁰ වේ.

CO = a cos 30⁰

CO = \frac{\sqrt3}2a 

AC=AB\;Sin\;30^0=2a\times\frac12(AB=2a)=a

රූපයේ බල ත්‍රිකෝණයේ ආකාරයට,

\tan\;\theta=\frac{AC}{CO} (2)

(1) හා (2) න්,

\begin{array}{l}\frac{AC}{CO}=\frac WP\\P=W.\frac{CO}{AC}\\\;\;\;=\frac{\sqrt3{\displaystyle a}}{2a}W\\\;\;\;=\frac{\sqrt3}2W\;\end{array}\\\begin{array}{l}S\mathrm{in}\theta\;=\frac WR\;(බල\;\text{ත්‍රිකෝණයට අනුව)}\\\frac2{\sqrt7}=\frac WR\\R=\frac{2W}{\sqrt7}\;(\text{අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාව)}\end{array}

අසව්වේ ප්‍රතික්‍රියාව තිරස සමඟ සාදන කෝණය \theta වේ.

Sin\;\theta=\frac2{\sqrt7}

\theta=Sin^{-1}\left(\frac2{\sqrt7}\right)

උදාහරණ 03;

බර W₁ වූ ඒකාකාර දණ්ඩ දෙකෙළවර A හා B ය. A වලදී අචල ලක්ෂ්‍යයකට අසව් කොට ඇති දණ්ඩේ B කෙළවරට සම්බන්ධ කොට ඇති තන්තුවක් A ට සිරස් ලෙස ඉහළින් ඇති C කප්පියක් මතින් පන්නා එහි නිදහස් කෙළවර W₂ භාරයක් ගැට ගසා ඇත. සිරසට ආනතව සිරස් තලයක දණ්ඩේ සමතුලිතතාවයේ පවතී. AC=\frac{W_1}{2W_2}CB   බව පෙන්වන්න.

• W₂ භාරය බල 2ක් යටතේ සමතුලිතව පවතී.

T = W₂

• දණ්ඩ අසමාන්තර ඒකතල බල 3ක් යටතේ සමතුලිතව පවතී.

• AOC හා XYZ ත්‍රිකෝණ සමරූපී වේ.

 \frac{AC}{W_1}=\frac{CO}T\\\frac{AC}{W_1}=\frac{CO}{W_2}\\AC=\frac{W_1}{W_2}.CO – (*)

• ABC ත්‍රිකෝණයේ AB පාදයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය G ද AC // GO ද නිසා CO = ½ CB වේ. එමනිසා O යනු CB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේ.

(*) න්,

AC=\frac{W_1}{W_2}.\frac12.CB AC=\frac{W_1}{2W_2}.CB

ලාමිගේ ප්‍රමේයය

• අසමාන්තර ඒකතල බල තුනක් යටතේ වස්තුවක් හෝ අංශුවක් සමතුලිත නම් එක් එක් බලයේ විශාලත්වයට අනෙක් බල 2 අතර කෝණයේ සයිනයට දරන අනුපාතය සමානුපාතික වේ.
• P, Q, R යන අසමාන්තර ඒකතල බල 3 යටතේ O ලක්ෂ්‍යය සමතුලිත වේ.

    ලාමිගේ ප්‍රමේයය,

\frac P{\sin\;\gamma}=\frac Q{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle\beta}}=\frac{\displaystyle R}{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle\alpha}}

• සාධනය

P, Q හා R යන ඒකතල බල 3ක් යටතේ O ලක්ෂ්‍යය සමතුලිත නිසා මෙම බල විශාලත්වයෙන් හා දිශාවෙන් ත්‍රිකෝණයක අනුපිළිවෙලට ගත් පාද ඔස්සේ නිරූපණය කළ හැක.

            XY = R, YZ = P, ZX = Q

• සයින් නීතියට අනුව,

\frac{Sin\left(\pi-\alpha\right)}R=\frac{\displaystyle Sin\left(\pi-\gamma\right)}P=\frac{\displaystyle Sin\left(\pi-\beta\right)}{\displaystyle Q}\\\frac{Sin\;\alpha}R=\frac{\displaystyle Sin\;\gamma}P=\frac{\displaystyle Sin\;\beta}{\displaystyle Q}\\\frac R{Sin\;\alpha}=\frac P{Sin\;\gamma}=\frac{\displaystyle Q}{\displaystyle Sin\;\beta}

• උදාහරණ;

01.

• ලාමිගේ ප්‍රමේයය මඟින්,

\dfrac S{Sin\;{\displaystyle\dfrac\pi2}}=\dfrac3{Sin\left(\pi-\theta\right)}=\dfrac{\displaystyle6}{\displaystyle Sin\;\left(\dfrac{\displaystyle\pi}2+\theta\right)}\\\dfrac S1=\dfrac3{Sin\;\theta}=\dfrac{\displaystyle6}{\displaystyle Cos\;\theta}\\\dfrac3{Sin\;\theta}=\dfrac{\displaystyle6}{\displaystyle Cos\;\theta}\\\tan\;\theta=\dfrac12\\S=\dfrac3{Sin\;\theta}=\dfrac3{\displaystyle\dfrac1{\sqrt5}}=3\sqrt5\;N

උදාහරණ;

02.W (N) බර ලක්ෂ්‍යාකාර වස්තුවක් සැහැල්ලු අවිතන්‍ය තන්තු දෙකක් මඟින් සිරස් තලයක සමතුලිතව තබා ඇත. එක් එක් තන්තුව සිරස සමඟ 30⁰  හා 60⁰  සාදයි නම් තන්තුවල ආතති සොයන්න.

එවිට B\overset\frown OA=\frac\pi2 වේ.

• OB හා OA යනු තන්තු දෙකද ඒවායේ ආතති පිළිවෙලින් T₁, T₂ යැයි ගනිමු.
• මෙම ගැටලුව පහසුවෙන් විසඳීමට ලාමිගේ ප්‍රමේයය යොදා ගත හැක.
• ලක්ෂ්‍යයේ සිට තලයට අඳින ලද ලම්භකයේ අඩිය C ලෙස ගනිමු.

එවිට B\overset\frown OC=30^0 වේ.

ලාමිගේ ප්‍රමේයය යෙදීමෙන්,

\frac w{Sin\;90}=\frac{T_1}{Sin\;120}=\frac{T_2}{Sin\;120} \frac w{Sin\;90}=\frac{T_1}{Sin\;120}

T₁ = W sin 120

T_1=\frac{\sqrt3W}2 \frac w{Sin\;90}=\frac{T_2}{Sin\;120}

T₂ = W sin 150

T_2=\frac W2

උදාහරණ 03;

එකම තිරස් මට්ටමේ A හා D ලක්ෂ්‍යවල සම්බන්ධව ඇති ABCD තන්තුවක් B හා C හිදී W හා 3W වූ භාර දරා සිටී. AB හා CD සිරසට 60⁰  හා 30⁰  ආනතිය සහිත වේ. BC තන්තු කොටස් තිරස් බව පෙන්වා තන්තුවල ආතති සොයන්න.

• AB, BC, CD තන්තුවල ආතතිය පිළිවෙලින් T₁, T₂, T₃ යැයි ගනිමු.
• B හා C ලක්ෂ්‍යය සමතුලිත බැවින් එම ස්ථානවල සමතුලිතතාව සඳහා ලාමි ප්‍රමේයය යොදමු.

T₁ හා W අතර කෝණය =120⁰

T₂ හා W අතර කෝණය =\alpha

T₁ හා T₂ අතර කෝණය = 180⁰ –\alpha = (240-\alpha)

• B ලක්ෂ්‍යයට ලාමි ප්‍රමේයය යෙදීමෙන්,

\frac w{Sin\left(240-\alpha\right)}=\frac{T_2}{Sin\;120}=\frac{T_1}{Sin\;\alpha}

T₂ හා 3W අතර කෝණය = (180⁰–\alpha )

T₃ හා 3W අතර කෝණය =150⁰

T₂ හා T₃ අතර කෝණය = (30⁰+\alpha )

• C ලක්ෂ්‍යයට ලාමි ප්‍රමේයය යෙදීමෙන්,

\frac{3w}{Sin\left(30+\alpha\right)}=\frac{T_2}{Sin\;150}=\frac{T_3}{Sin\left(180-\alpha\right)}

(1) න්,

T_2=\frac{W\sin\;120}{Sin\left(240-\alpha\right)}

(2) න්,

T_2=\frac{3W\sin\;150}{Sin\left(30+\alpha\right)}

•  \frac{3W\;\sin\;150^o}{\sin\left(30+\theta\right)}=\frac{W\;\sin\;120^o}{\sin{\displaystyle\left(240-\alpha\right)}})

• Sin\;120^0Sin\left(30+\alpha\right)=3Sin150^0Sin\left(240-\alpha\right)

•  \frac{\sqrt3}2\left(\frac12\cos\;\alpha\;+\;\frac{\sqrt3}2sin\;\alpha\right)=3\times\frac12\left(-\frac{\sqrt3}2\cos\;\alpha+\frac12\sin\;\alpha\right)

• \left(\cos\;\alpha+\sqrt3Sin\;\alpha\right)=\sqrt3\left(-\sqrt3\cos\;\alpha+\sin\;\alpha\right)

• \cos\;\alpha+\sqrt3Sin\;\alpha=-3\cos\;\alpha+\sqrt3\sin\;\alpha

4\cos\;\alpha=0 \alpha=\frac\pi2

BC තන්තු කොටස් තිරස් ය.

(1) න්,

T_2=\frac{w\sin120}{Sin\left(240-90\right)}=\frac{w{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}}{\displaystyle\frac12}=\sqrt3w

(1) න්,

• T_1=\frac{w\sin{\displaystyle\frac\pi2}}{Sin\left(120-90\right)}=\frac w{\displaystyle\frac12}=2w

• T_3=\frac{3w\sin\left(180-901\right)}{\sin(30+90)}=\frac{3w}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}=2\sqrt3wT_3=\frac{3w\sin\left(180-901\right)}{\sin(30+90)}=\frac{3w}{\displaystyle\frac{\sqrt3}2}=2\sqrt3w

Cot ප්‍රමේයය

• BC : CD, m : n විට,

(m+n)\;cot\;\theta=m\;cot\;\alpha\;-n\;cot\;\beta

• BC : CD, m : n විට,

(m+n)\;cot\;\theta=n\;cot\;A\;-m\;cot\;B

උදාහරණ 01:                                                                                          

ඉහත රූපයේ m : n අනුපාතය සොයන්න.

Cot ප්‍රමේයයට අනුව,

(m+n) cot 60 = n cot 30 – m cot 30

(m+n)\;c\times\frac1{\sqrt3}=n\;\times\sqrt3\;-m\times\;\sqrt3

(m+n) = (3n-3m)

4m = 2n

\frac mn=\frac24=\frac12

උදාහරණ 02:

සිය ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය මඟින් a : b කොටස් දෙකකට බෙදෙන දණ්ඩක් සුමට ගෝලයක් තුළ තිරස්ව ආනත වූ පිහිටීමක පවතී. තිරසට එහි ආනතිය\theta  ද දණ්ඩ ගෝලයෙන් කේන්ද්‍රයේ ආපාතනය කරන කෝණය 2\alpha  ද නම්,

\tan\;\theta\;=\frac{\left(b-a\right)}{\left(b+a\right)}\;\tan\;\alpha  බව පෙන්වන්න.

දණ්ඩ අසමාන්තර බල තුනක් යටතේ සමතුලිතව පවතී.

(a+b) cot (90-\theta ) = b cot (90-\alpha ) – a cot (90-\alpha)

(a+b) tan \theta  =b tan \alpha-a tan \alpha

(a+b) tan \theta=(b-a) tan \alpha

\tan\;\theta\;=\frac{\left(b-a\right)}{\left(b+a\right)}\;\tan\;\alpha

සමාන්තර බල තුනක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක සමතුලිතතාව

P, Q හා R යන ඒකතල බල තුන යටතේ දෘඪ වස්තුව සමතුලිතව පවතියි ද, P හා Q බලවල ක්‍රියා රේඛා සමාන්තර යැයිද ගනිමු.

 

\frac{AC}{CB}=\frac{\displaystyle Q}p

AC : CB = Q : P

• P හා Q බල දෙක සමාන්තරව ක්‍රියා කරන විට එම බල දෙකෙහි සම්ප්‍රයුක්ත බලය S, P හා Q බලවල ක්‍රියා රේඛාවෙන්ම සමාන්තරව රූපයේ පෙන්වා ඇති ආකාරයට ක්‍රියා කරයි. දැන් දෘඪ වස්තුව P හා Q බල 2 හි සම්ප්‍රයුක්ත බල වන S හා R යන බල යටතේ සමතුලිතව පවතින නිසා මෙම බල විශාලත්වයෙන් සමානව දිශාවෙන් ප්‍රතිවිරුද්ධව එකම ක්‍රියා රේඛාවේ ක්‍රියා කළ යුතුය. මෙවිට R බලයේ ක්‍රියා රේඛාවද P හා Q බලවල ක්‍රියා රේඛාවන්ට සමාන්තර වේ.
• බල තුනක් යටතේ දෘඪ වස්තුවක් සමතුලිත වී ඉන් බල දෙකක ක්‍රියා රේඛා සමාන්තර නම් තුන්වන බලයේ ක්‍රියා රේඛාවද එම බලවල ක්‍රියා රේඛාවන්ට සමාන්තර වේ.

උදාහරණ ගණන් 01;

අරය R වන කේන්ද්‍රය O වන ඝන ඒකාකාර අර්ධ ගෝලයක බර w වේ. එහි පෘෂ්ටය සුමට මේසයක් හා ස්පර්ශ වෙමින් තිබියදී සමතුලිතතාවයේ තබා ඇත්තේ එහි දාරයේ ලක්ෂ්‍යයකට හා මේසයේ ලක්ෂ්‍යයකට බැඳ ඇති සැහැල්ලු l දිගැති අවිතන්‍ය තන්තුවකිනි. අර්ධ ගෝලීය තල පෘෂ්ටය මේස තලයට \theta කෝණයකින් ආනතය. R>l නම් තන්තුවේ ආතතිය \frac{3w\left(R-l\right)}{8\sqrt{2Rl-l^2}}  බව පෙන්වන්න.

O වටා ඝූර්ණ සැලකීමෙන්,

වාමාවර්ත ඝූර්ණ = දක්ෂිණාවර්ත ඝූර්ණ

R\;\cos\theta\;.\;T\;=\;W.\;\frac38\;R\;\sin\;\theta\\T\;\cos\theta\;=\frac{3w}8\;\sin\;\theta\\T\;=\frac{3w}8\;\tan\;\theta (*)

OAB ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයෙන්,

OA = R

OB = (R-l)

AB² + OB² = OA²

AB² + (R-l)² = R²

AB² = 2Rl – l²

AB = (2Rl -l²)^½

\tan\;\theta=\frac{OB}{AB}=\frac{\left(R-l\right)}{\sqrt{2Rl-l^2}}

(*) න්,

T=\frac{3w}8.\;\tan\;\theta\;=\frac{3w}8\frac{\left(R-l\right)}{\sqrt{2Rl-l^2}}

උදාහරණ ගණන් 02:

(a+b) දිග w බර AB දණ්ඩක ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය A සිට a දුරකින් ඇත. එකම තිරස් තලයේ එකක් අනිකේ සිට c දුරින් පිහිටි සමාන්තර පිහි දාර දෙකක් මත දණ්ඩ තබා ඇත. එක් එක් පිහි දාර ඔබ්බට දණ්ඩේ සමාන කොටස් නෙරී ඇත. පිහි දාර මත පීඩන පිළිවෙලින්,\left(\frac{b-a+c}{2c}\right).w\;,\;\left(\frac{a-b+c}{2c}\right)w බව ඔප්පු කරන්න.

2x + c = a + b

x = (a+b-c)*0.5

O වටා ඝූර්ණ සැලකීමෙන්,

0 = S . c – w (a-x)

S . c = w (a-x)

S =\frac{w(a-x)}c

S =\;\left(\frac{a-b+c}{2c}\right)w

O වටා  O = R + S – w

R = w – S

R = w –\;\left(\frac{a-b+c}{2c}\right)w

R = \left(\frac{b-a+c}{2c}\right).w

උදාහරණ ගණන් 03:

විෂ්කම්භය \sqrt3 වූ සුමට ගෝලයකින් කපා ගන්නා ලද අර්ධ ගෝලයක ගැට්ට තිරස්ව සිටින සේ අචලව සවි කොට තිබේ. W බරැති ඒකාකාර සිහින් AB දණ්ඩක් ගෝලයේ කේන්ද්‍රය හරහා යන සිරස් තලයක සමතුලිතව ඇත්තේ දණ්ඩේ A කෙළවර අර්ධ ගෝලය ඇතුළත පිහිටි ලක්ෂ්‍යයක ගැටෙමින් අනෙක් කෙළවර ගැට්ටෙන් පිටතට නෙරා සිටින සේය. දණ්ඩ තිරසට 30⁰  ක කෝණයක් ආනත නම් දණ්ඩේ දිගද දණ්ඩේ අර්ධ ගෝලයෙහි ගැටී ඇති ස්ථානවල ප්‍රතික්‍රියාද සොයන්න.

AO’ =\sqrt3a  (විෂ්කම්භයක් වේ.)

AG cos 30 = AD

AO’ cos 60 = AD

 AG cos 30 = AO’ cos 60

AG\times\frac{\sqrt3}2=AO^,\times\frac12 AG\times\sqrt3=\sqrt3\;a

AG = a

දණ්ඩේ දිග = a + a = 2a

 AB = 2a

W = 2R_C cos 30

R_C =\frac w{\sqrt3}

R_A = R_C වන නිසා,

R_A =\frac w{\sqrt3}

.

ඉදිරියේදී ප්‍රශ්න ඇතුලත් වන්නේ මෙතනටයි.