- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න) 09 වැනි ගැටළුවේ සහ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 16 වැනි ගැටළුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
වෘත්තය හැඳින්වීම
- අචල ලක්ෂ්‍යයක් වටා නියත දුරකින් චලනය වන ලක්ෂ්‍යයක පථය වෘත්තයකි.
- මෙම අචල ලක්ෂ්‍යය වෘත්තයේ කේන්ද්‍රය ලෙසද නියත දුර වෘත්තයේ අරය ලෙසද හදුන්වයි.
- C වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයයි.
- r වෘත්තයේ අරය වේ.
- වෘත්තයට අඳින ලද ඕනෑම අභිලම්බයක් එහි කේන්ද්‍රය හරහා ගමන් කරයි.
වෘත්ත දෙකක් ස්පර්ශ වීම
- බාහිර ස්පර්ශය
- අභ්‍යන්තර ස්පර්ශය
මූල ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රය හා අරය r වන වෘත්තයක සමීකරණය ලබාගැනීම.
වෘත්තය මත විචල්‍ය P≡ ( x̅ , y̅ ) ලක්ෂ්‍යය සලකමු.
\begin{array}{rcl}OP&=&r\\\left(OP\right)^2&=&r^2\\(\overline x–0)^2+(\overline y-0)^2&=&r^2\\\;\left(\overline x\right)^2+\left(\overline y\right)^2&=&r^2\end{array}මෙය විචල්‍ය ආකාරයෙන් ලිවීමෙන් වෘත්තයේ සමීකරණය ලැබේ.
∴ මූල ලක්ෂ්‍යය කේන්ද්‍රය වූ අරය r වූ වෘත්තයේ සමීකරණය,
x2 + y2 = r2
කේන්ද්‍රය ( a , b ) වූ හා අරය r වන වෘත්තයක සමීකරණය ලබාගැනීම.
වෘත්තය මත විචල්‍ය P≡ ( x̅ , y̅ ) ලක්ෂ්‍යය සලකමු.
\begin{array}{rcl}CP&=&r\\\left(CP\right)^2&=&r^2\\(\overline x–a)^2+(\overline y-b)^2&=&r^2\end{array}මෙය විචල්‍ය ආකාරයෙන් ලිවීමෙන් වෘත්තයේ සමීකරණය ලැබේ.
∴ කේන්ද්‍රය (a , b ) ද, අරය r ද, වූ වෘත්තයේ සමීකරණය,
( x – a )2 + ( y – b)2 = r2
වෘත්තයක සාධාරණ සමීකරණය
කේන්ද්‍රය ( -g , -f ) ද, අරය r ද වන වෘත්තයේ සමීකරණය,
{ x – (-g) }2 + { y – (-f) }2 = r2 වේ. ; ⋆ න්
\begin{array}{rcl}(x+g)^2+(y+f)^2&=&r^2\\x^2+2gx+g^2+y^2+2fy+f^2&=&r^2\\x^2+y^2+2gx+2fy+g^2+f^2-r^2&=&0\\x^2+y^2+2gx+2fy+c&=&0\;;\;\;c=g^2+f^2-r^2\end{array}මෙය වෘත්තයක සාධාරණ සමීකරණය වේ.
සාධාරණ වෘත්ත සමිකරණයේ පවතින ලක්ෂණ
- එහි x2 හා y2 පද අඩංගු වන අතර ඒවායේ සංගුණක සමාන වේ. තවද, එහි xy ගුණිත පද අඩංගු නොවේ.
- x2 හා y2 පද වල සංගුණක 1 වන විට වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක \left(-\frac{x\;\text{හි සංගුණකය}}2,-\frac{y\;\text{හි සංගුණකය}}2\right) වේ.
- c = g2 + f2 – r2
⟹ r2 = g2 + f2 – c
⟹ r = \sqrt{g^2+f^2-c}
g2 + f2 – c ≥ 0 නම් වෘත්තය පවතියි.
g2 + f2 – c < 0 නම් ලැබෙන වෘත්ත අතාත්වික වේ.
උදා ; 5x2 +5y2 – 32x – 24y + 75 = 0 වෘත්තයේ කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක හා එහි අරය ලියන්න.
5x2 +5y2 – 32x – 24y + 75 = 0
⟹ x2 + y2 -x –y + 15 = 0
කේන්ද්‍රයේ ඛණ්ඩාංක , ( 16∕5 , 12∕5 )
\begin{array}{rcl}\text{අරය}&=&\sqrt{\left(-\frac{16}5\right)^2\;+\;\left(-\frac{12}5\right)^2\;-\;15}\\&=&1\end{array}.
