සරල රේඛාවක අභිලම්භ ආකාරය(\mathrm{xcosα}\;+\;\mathrm{ysinβ}\;=\;\mathrm P)
- මෙහි p යනු මූල ලක්ෂයේ සිට සරල රේඛාවට ඇති ලම්බක දුර වන අතර\alpha යනු එම ලම්භකය x- අක්ෂයේ ධන දිශාව සමග සාදන කෝණය වේ.
- සරල රේඛාව මත විචල්‍ය (x,y) සලකමු .
උදා: 3x+4y+15=0 සරල රේඛාවට මූල ලක්ෂයේ සිට ඇත් ලම්භක දුරද මෙම ලම්භකය x – අක්ෂයේ ධන දිශාව සමග සාදන කෝණයද සොයන්න.
\begin{array}{rcl}3x+4y+15&=&0\\-3x-4y&=&15\\-\frac35x-\frac45y&=&3\\-x\cos\left(\alpha\right)-y\sin\left(\alpha\right)&=&3\\x\cos\left(\pi-\alpha\right)+y\sin\left(\pi-\alpha\right)&=&3\end{array}
\cos\;\alpha\;=\;\frac35 \sin\;\alpha\;=\;\frac45
- \thereforeමූල ලක්ෂයේ සිට සරල රේඛාවට ඇත් ලම්භක දුර ඒකක 3ක් වේ. මෙම ලම්භකය x – අක්ෂයේ ධන දිශාව සමග සාදන කෝණය \pi+\alpha වේ. මෙහි \alpha=\;\sin^{-1}\left(\frac45\right) වේ.
- මෙම සරල රේඛාවේ ප්‍රස්ථාරය පහත පරිදි වේ.
සරල රේඛාවක පරාමිතික ආකාරය
- A = (x_0,y_0) යනු සරල රේඛාවක දෙන ලද අචල ලක්ෂයක් යැයිද සරල රේඛාවක x – අක්ෂයේ ධන දිශාව සමග සාදන කෝණය \alpha ලෙසද ගනිමු.
- සරල රේඛාව මත විචල්‍ය (x,y) ලක්ෂ්‍යය සලකමු
- රේඛාවේ අනුක්‍රමණය (m)=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\tan\;\alpha
\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{\sin\;\mathrm\alpha}{\cos\;\mathrm\alpha}
\frac{y-y_0}{\sin\;\alpha}=\frac{\mathrm x-{\mathrm x}_0}{\cos\;\mathrm\alpha}(=t\;\text{යැයි ගනිමු})
\frac{\mathrm x-{\mathrm x}_0}{\cos\;\mathrm\alpha}=\;t\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\mathrm x=\;\mathrm t\;\mathrm{cosα}+{\mathrm x}_0
\frac{y-y_0}{\sin\;\mathrm\alpha}=\;t\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\mathrm y=\;\mathrm t\;\sin\alpha+{\mathrm y}_0
- එම නිසා සරල රේඛාවේ පරාමිතික ඛණ්ඩාංක =(\mathrm{tcos}\;\mathrm\alpha+{\mathrm x}_0\;,\;\mathrm{tsin}\;\mathrm\alpha+{\mathrm y}_0)
- මෙහි t විචල්‍ය පරාමිතිය වේ.
- පරාමිතික සමීකරණ වලින් පරාමිතිය ඉවත් කිරීමෙන් සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලැබේ.
උදා: x – y + 1 රේඛාව මත (1, 2) ලක්ෂයේ සිට එම රේඛාව මත ඒකක 3\sqrt2 දුරින් පිහිටි ලක්ෂය සොයන්න.
- රේඛාව මත ඕනෑම ලක්ෂයක් P(t , t+1) ලෙස ගත හැක.
\sqrt{(t+1)^2\;+\;(t+1-2)^2}\;=\;AP
\sqrt{(\mathrm t-1)^2\;+\;(\mathrm t+1-2)^2}\;=\;3\sqrt2
2(\mathrm t-1)^2\;=\;18
(\mathrm t-1)^2\;=\;9
\mathrm t\;^2\;-2t\;+1\;=\;9
\mathrm t\;^2\;-2t\;+\;8\;=\;0
\left(\mathrm t-4\right)\left(\mathrm t+2\right)\;=\;0
\Rightarrow\;\;\mathrm t=4\;\;,\;\;\;\;\;\;\;\mathrm t=-2
අවශ්‍ය ලක්ෂ වල ඛණ්ඩාංක (4, 5) හා (-2, -1) වේ.
සරල රේඛාවක අනුක්‍රමණය හා සරල රේඛාව මත ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක දී ඇති විට රේඛාවේ සමීකරණය ලබා ගැනීම(ඒක ලක්ෂ ආකාරය)
- සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය m යයිද රේඛාව මත දී ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක ({\mathrm x}_{0\;\;,\;}{\mathrm y}_0) ලෙස ගනිමු.
- සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය m\;=\;tan\;\theta
- සරල රේඛාව මත (x ,y) සලකමු.
- රේඛාවේ අනුක්‍රමණය=\tan\;\theta\;=\;\frac{y-y_0}{x-x_0}
m(x-x_0)\;=y-y_0
y-y_0\;=\;m(x-x_0)
උදා: අනුක්‍රමණය \frac32 වන (2, -3) ලක්ෂය හරහා යන රේඛාවේ සමීකරණය ලියන්න.
- සරල රේඛාවේ සමීකරණය,
\mathrm y\;-\;(-3)\;=\;\frac32\left(\mathrm x\;-\;2\right)
3\mathrm x\;-\;2\mathrm y\;-12\;=\;0
සරල රේඛාවක් මත ලක්ෂ දෙකක ඛණ්ඩාංක දී ඇති විට එම සරල රේඛාවේ සමීකරණය සෙවීම.(ද්වී ලක්ෂ ආකාරය)
- සරල රේඛාවක් මත දෙන ලද ලක්ෂ දෙක A(x_{1\;}\;,\;y_1) හා B(x_{2\;}\;,\;y_2) ලෙස ගනිමු.
- සරල රේඛාව මත විචල්‍ය (x , y) සලකමු
- සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය=\frac{y_2\;-\;y_1}{x_{2\;}\;-\;x_1}
- තවද සරල රේඛාවේ අනුක්‍රමණය =\frac{y\;-\;y_1}{x\;-\;x_1}
\therefore\;\;\;\;\;\;\frac{y\;-\;y_1}{x\;-\;x_1}\;=\;\frac{y_2\;-y_1}{x_{2\;\;}\;-\;x_1}
\Rightarrow\;\;\;\;y\;-y_1\;=\frac{\left(y_2\;-\;y_1\right)}{\left(x_2\;-\;x_1\right)}\left(x\;-x_1\right)
උදා: (-1, 3), (5, 4) ලක්ෂ්‍යයන් හරහා යන සරල රේඛාවේ සමීකරණය ලියන්න.
- අවශ්‍ය රේඛාවේ සමීකරණය,
\mathrm y\;-\;3\;=\;\frac{\left(4\;-\;3\right)}{\left[5\;-\left(-1\right)\right]}\left[\mathrm x\;\;-\left(-1\right)\right]
\mathrm x\;-\;\mathrm y\;+\;19\;=\;0
