03.06.00 - ආවේගය සහ ගම්‍යතාව - Advanced Level Science Stream – LearnSteer

සංයුක්ත ගණිතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ලකුණු 25 ක ගැටලුවක් මෙම සිද්ධාන්ත වලින් ඇතුළත් කර ඇත.

ඉතාම කුඩා කාලයකදී ක්‍රියාත්මක වන විශාල බලයක් ආවේගී බලයක් ලෙස හැදින්වේ
ආවේගී බලයක් එය ක්‍රියාත්මක වන කුඩා කාලයෙන් ගුණ කළ විට ආවේගය ලැබේ.
ආවේගය දෛශිකයකි.
ආවේගය මනින SI ඒකක Ns හෝ kgms^-1 වේ.
m ස්කන්ධයකට I ආවේගයක් යෙදීම නිසා එහි ප්‍රවේගය u සිට v දක්වා වෙනස් වූයේ යැයි සිතමු. එවිට,

I=mv-mu වේ.

I=Δ(mv)

I=ගම්‍යතා වෙනස

ආවේගයක් නොපවතී නම් ගම්‍යතාව සංස්ථිතික වේ.

ගම්‍යතා සංස්ථිති නියමය

අංශු පද්ධතියක් මත සලකනු ලබන දිශාවක් ඔස්සේ බාහිර ආවේගී බල හෝ බාහිර සාමාන්‍ය බල ක්‍රියා නොකරන්නේ නම් එම දිශාව ඔස්සේ අංශු පද්ධතියේ මුළු ගම්‍යතාව සංස්ථිතිකව පවතී.

ගම්‍යතාව ගැනීමේදී මෙන්ම චාලක ශක්තිය ගැනීමේදී පොළවට සාපේක්ෂ ප්‍රවේගය භාවිතා කිරීම අනිවාර්ය වේ.
ගම්‍යතා සංස්ථිති නියමය යෙදීමේදී පසු මුළු ස්කන්ධය පෙර මුළු ස්කන්ධයට සමාන විය යුතුය.

උදා 1 :

උණ්ඩද සමග ස්කන්ධය M වන කාල තුවක්කුවක් සුමට තිරස් තලයක් මත නිසලව තබා ඇත්තේ එහි කද තිරස් වන අන්දමිනි. ස්කන්ධය m වන උණ්ඩයක් u වන ප්‍රවේගයෙන් තුවක්කුවෙන් නිකුත් කෙරේ. තුවක්කුව වාංගු වන ප්‍රවේගයත්, තුව්කුව හා උණ්ඩය අතර ඇති වන ආවේගයත්, ජනනය වන චාලක ශක්තියත් සොයන්න.

\begin{array}{l}\text{ශ.ස.නි. }\;\;\;\rightarrow\\mu-(M-m)v=0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v=\frac{mu}{M-m}\;\\\\m\;ට\;\rightarrow\;I=\triangle(m\underline v)\;\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=mu-0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=mu\\\\\text{ ජනනය වන චාලක ශක්තිය}\;\;=\frac12mu^2\;+\;\frac12(M-m)v^2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac12mu^2\;+\;\frac12(M-m)\frac{\left(mu\right)^2}{\left(M-m\right)^2}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac12u^2\left(m+\frac{m^2}{M-m}\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac12\frac{mMu^2}{(M-m)}\\\end{array}

ආවේගී ආතති

හැකිලී පවතින අවිතන්‍ය තන්තුවක් තදවන මොහොතේදී හෝ තදව පවතින අවිතන්‍ය තන්තුවක කෙලවරෙහි පවතින අංශුවක් මත බාහිර ආවේගයක් යොදන විටදී තන්තුවක ආවේගී ආතති ඇතිවේ.

උදා 2 :

A හා B අංශු 2 ක ස්කන්ධ පිලිවෙලින් M හා m වේ. ලුහු අවිතන්‍ය තන්තුවක් මගින් අංශු 2 සම්බන්ධ කර තන්තුව තදව පවතින සේ අංශු 2 සුමට තිරස් මේසයක් මත තබා A අංශුව මත BA දිශාවට I ආවේගයක් යොදනු ලබයි. අංශු චලිතය අරඹන ප්‍රවේගත් තන්තුවේ ඇතිවන ආවේගී ආතතියත් පද්ධතියට ලැබෙන චාලක ශක්තියත් සොයන්න

\begin{array}{l}\text{පද්ධතියටම→}\;\;\;\;\;\;\underline I=\triangle(m\underline v)\;\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{\mathrm I}=\mathrm{Mv}\;+\;\mathrm{mv}-0\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{\mathrm I}=(\mathrm M+\mathrm m)\mathrm v\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathrm v=\frac{\;\underline{\mathrm I}}{(\mathrm M+\mathrm m)}\\\\\mathrm B\;\mathrm ට\;\rightarrow\;\underline I=\triangle(m\underline v)\;\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_1=\;mv-0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_1=\frac{m\;\underline I}{(M+m)}\\\\\text{පද්ධතිය ලබා ගන්නා චා.ශ. =}\;\frac12Mv^2\;+\;\frac12mv^2-0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac12v^2(M+m)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac12(M+m)\frac{I^2}{(M+m)^2}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{I^2}{2(M+m)}\end{array}

උදා 3 :

A, B, C අංශු 3 කට m බැගින් වන සමාන ස්කන්ධ පවතී. ලුහු අවිතන්‍ය තන්තු 2 ක් මගින් A ට B ත් B ට C ත් සම්බන්ධ කර තන්තු තදව ඇතිව ABC කෝණය =120⁰ වන සේ සුමට තිරස් මේසයක් මත තබා A අංශුව මත BA දිශාවට I ආවේගයක් යොදනු ලැබේ. අංශු චලිතය අරඹන ප්‍රවේගත් තන්තුවල ඇතිවන ආවේගී ආතතිත් පද්ධතියට ලැබෙන චාලක ශක්තියත් සොයන්න.

\begin{array}{l}\text{පදධතියටම}\;\uparrow\;\underline I=\triangle(m\underline v)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=0+mv+m(v\cos30^0-u\cos60^0)\cos30^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=v\;-\;\frac{\sqrt3u}4+\frac{3v}4\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0=7v-\sqrt3u\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\frac{7v}{\sqrt3}\\\\\boxed1\;\text{න්},\;\;\;\;\;\frac{4I}m=\frac{63v}{\sqrt3}-\sqrt3v\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;v=\frac{\sqrt3I}{15m}\\\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u=\frac{7I}{15m}\\\end{array}

\begin{array}{l}A\;\text{අංශුව චලිතය අරඹන ප්‍රවේගයේ විශාලත්වය}\;\;=\frac{7I}{15m}\\\\B\;අ\text{ංශුව චලිතය අරඹන ප්‍රවේගයේ විශාලත්වය}\;\;=\sqrt{v^2+u^2}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sqrt{\frac{52v^2}3}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2\sqrt{13}I}{15m}\\\end{array}

C චලිතය අරඹන ප්‍රවේගය CB දිශාවට පවතී.

\begin{array}{l}\text{එහි අගය =}u\cos60^0\;-\;v\cos30^0\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{7I}{30m}-\frac{3I}{30m}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2I}{15m}\text{වේ.}\\\\\text{A ට  }\rightarrow\underline I=\triangle(m\underline v)\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;I-I_1=mu\\\;\;\;\;\;\;I_1=I-mu\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=I-\frac{7I}{15}\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_1=\frac{8I}{15}\\C\;ට\;\;\searrow\underline I=\triangle(m\underline v)\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I_2=m(u\cos60^0-v\cos30^0)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2I}{15}\\\\\text{පද්ධතියට ලැබෙන චාලක ශක්තිය =}\frac12m\text{ }\left(\frac{7I}{15m}\right)^2\text{ }+\;\frac12m\text{ }\left(\frac{2\sqrt{13}I}{15m}\right)^2\text{+ }\frac12\text{m}\left(\frac{2I}{15m}\right)^2\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left(\frac{I^2}{2m}\right)\left(\frac{49}{225}+\frac{52}{225}+\frac4{225}\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left(\frac{I^2}{2m}\right)\left(\frac{105}{225}\right)\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{7I^2}{30m}\end{array}

වස්තු 2ක් අතර ගැටුමකදී ගැටුමට පෙර වස්තු දෙකෙහිම ප්‍රවේග ගැටුම් රේඛාව ඔස්සේ පමණක් පවතී නම් එය සරල ගැටුමක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
වස්තු 2 ක් අතර ගැටුමකදී ගැටුමට පෙර එක් වස්තුවක හෝ ප්‍රවේගය ගැටුම් රේඛාව ඔස්සේ නොපවතී නම් එය ඇල ගැටුමක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.

නිවුටන්ගේ ප්‍රත්‍යාගති නියමය

වස්තු 2ක් අතර ගැටුමකදී ගැටුමෙන් පසු ඒවා වෙන් වීමේ සාපේක්ෂ අභිලම්භ වේගය ගැටුමට පෙර ඒවා ලංවීමේ සාපේක්ෂ අභිලම්භ වේගය මෙන් e වාරයක් වේ. මෙහි e යනු වස්තු 2 සෑදී ඇති ද්‍රව්‍ය මත පමණක් රදා පවතින 0 හා 1 අතර වන (0 හා 1 ද ඇතුලුව) නියතයකි. එයට ප්‍රත්‍යාගති සංගුණකය යැයි කියනු ලැබේ.

උදා 4 :

ස්කන්ධ m හා 2m වන ගෝල 2 ක් එකම දිශාවට පිළිවෙලින් 2u හා u ප්‍රවේග සහිතව චලිත වී එකිනෙක සමග සරලව ගැටේ. ප්‍රත්‍යාගති සංගුණකය e වේ නම් ගැටුමෙන් පසු ගෝල වල ප්‍රවේගත් ගැටුමේදී ගෝල අතර ඇති වන ආවේගයත් සොයන්න.

\begin{array}{l}\text{පද්ධතියටම →ගම්‍යතා සංස්ථිතිත නියමය යෙදීමෙන්}\\2my\;+\;mx\;=\;2mu\;+\;2mu\\\;\;\;\;\;\;\;\;2y\;+\;x=4u\;\;\rightarrow\boxed1\\\text{නිවුටන්ගේ ප්‍රත්‍යාගති නියමය යෙදීමෙන් }\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x\;+\;y\;=\;e(2u\;-u)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-x\;+\;y=eu\;\;\rightarrow\boxed2\\\\\boxed1\;+\;\boxed2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3y\;=\;(e\;+\;4)u\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y=\frac{\left(e+4\right)u}3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=y-eu\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{eu}3+\frac{4u}3-eu\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2u\left(2-e\right)}3\\2m\;ට\;\;\rightarrow\;\underline I=\triangle(m\underline v)\text{යෙදීමෙන්}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;I=2my-2mu\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2m\left(e\;+4\right)u}3-2mu\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{2\left(e+1\right)mu}3\end{array}

මෙම ගැටලුව සදහා සාපේක්ෂ චලිතය පාඩමේ එන සිද්ධාන්ත භාවිතා වේ.

උදා 5 :

කාලතුවක්කුවක් සුමට තිරස් තලයක් මත නිශ්චලව තබා ඇත්තේ එහි කද තිරසට 60⁰ කෝණයකින් ආනතව පිහිටන අන්දමිනි. කාලතුවක්කුවට තිරස් තලය මත වාංගු වීමේ නිදහස ඇත. ස්කන්ධය m වන උණ්ඩයක් තුවක්කුවට සාපේක්ෂව u ප්‍රවේගයෙන් නිකුත් වන අතර එය නිකුත් වූ පස් තුවක්කුවේ ස්කන්ධය 4m වේ. ජනනය වන චාලක ශක්තිය සොයන්න.