- සංයුක්ත ගණිතය I ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ලකුණු 25 ක ගැටළුවක් මෙම සිද්ධාන්ත වලින් ඇතුලත් කර ඇත.
පුරාණ ග්‍රීක ගණිතඥයකු වූ Archimedes විසින් වක්‍ර හැඩයන් මැනීම හා ගෝලයක පරිමාව මැනීම යන කරුණු මුල් කර ගෙන ක්‍රි.පූ. 3 වන සියවසේ දී සීමා පිළිබඳ ඉදිරිපත් කළ මුල්ම අදහස 1906 දී ගණිතඥයින් විසින් සොයා ගන්නා තෙක් සැඟවී පැවතිණි. මෙලෙස Archimedes ගේ සංකල්ප 20 වන සියවස තෙක් සැඟව පැවති නිසා, සීමා සම්බන්ධව නූතන ගණිත සංකල්ප වර්ධනය වූයේ වෙනත් ගණිතඥයන්ගේ අදහස් අනුසාරයෙනි.
- ස්වායක්ත විචල්‍ය කිසියම් අගයක් කරා ආසන්න වන විට ශ්‍රිතය මගින් එනු ලබන අගය එම අවස්ථාවේ ශ්‍රිතයේ සීමාව වේ.
- \lim_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right) යන්නෙහි අදහස ,
x විචල්‍ය a කරා ආසන්න වන විට f (x) හි සීමාව යන්නයි.
- උදාහරණ : –
01) \lim_{x\rightarrow1}( x2 + 2x + 1 ) 02) \lim_{x\rightarrow\frac{\mathrm\pi}3}( sinx + cosx )
= (1) 2 + 2(1) +1 = sin\frac\pi3+cos\frac\pi3
= 4 = \frac{\sqrt3}2+\frac12
= \frac{\sqrt3+1}2
03) \lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x+5} 04) \lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{5x+2}
= \frac{4-4}{2+5} = \frac1{5\infty+2}
= 0 = \frac1\infty
= 0
- උදාහරණ 01 සලකමු. x විචල්‍ය 1 කරා ආසන්න වන විට ( x2 + 2x + 1 ) හි සීමාව යන්න මෙහි අදහසයි. එවිට මෙම ගැටලුව විසදීමේදී x ඇති තැන් වලට 1 යොදා ගැටළුව විසදිය යුතුයි.
- ගණිතයේදී නිර්ණය කළ නොහැකි ගණිත කර්ම අනිර්ණීය අවස්ථා නම් වේ,
- සීමා ගැටළු වලදීද ශ්‍රිතයක සීමා නොපවතින අවස්ථා හෙවත් අනිර්ණීය අවස්ථා පවතී.
- ශ්‍රිතයක සීමා නොපවතින අවස්ථා ,
- උදාහරණ : –
01) \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2-1}{x-1} 02) \lim_{x\rightarrow2}\frac{x^3-8}{x^2-5x+6}
= \frac{1-1}{1-1} = \frac{8-8}{4-5+6}
= \frac{0}{0} = \frac{0}{5}
= අනිර්ණීය වේ = අනිර්ණීය වේ
03) \lim_{x\rightarrow2}\frac{2x^2-5x+2}{x^2-3x+2}
= \frac{2\left(2\right)^2-5\left(2\right)+2}{x^2-3\left(2\right)+2}
= \frac{8-10+2}{4-6+2}
= \frac{0}{0}
= අනිර්ණීය වේ
- උදහරණ 01) සලකමු. x විචල්‍ය 1 කරා යන විට \frac{x^2-1}{x-1} හි සීමාව යන්න මෙහි අදහසයි. x ට 1 යෙදු විට පිළිතුර \frac00 වේ. මෙම නිසා මෙම ගැටළුව සීමාවක් නොපවතින ගැටළුවක් වේ.
- ශ්‍රිතයක සීමාව ගැන සකච්ඡා කිරීමේදී ප්‍රමේයන් කිහිපයක් පිළිබදව අධ්‍යයනය කෙරේ.
- K නියතයක් විට,
f(x) = k යයි ගනිමු.
එවිට \lim_{x\rightarrow\alpha} f(x) = k වේ.
- K නියතයක් විට ,
\lim_{x\rightarrow\alpha}k f(x) = k \lim_{x\rightarrow\alpha} f(x)
- \lim_{x\rightarrow\alpha}[ f (x ) \pm g ( x) ] = \lim_{x\rightarrow\alpha} f(x) \pm \lim_{x\rightarrow\alpha} g(x)
- \lim_{x\rightarrow\alpha} [ f(x).g ( x) ] = \lim_{x\rightarrow\alpha} f(x).\lim_{x\rightarrow\alpha}g(x)
- g(x) ≠ 0 නම්, \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)}{\lim_{x\rightarrow\alpha}g(x)}
- \lim_{x\rightarrow\alpha}[ f(x) ] n = [ \lim_{x\rightarrow\alpha} f(x) ] n
- f(x) 0 විට \lim_{x\rightarrow\alpha}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)}
- සියලු x € R සදහා f බහු පද ශ්‍රිතයක් විට ,
\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x) = f(a)
- a ඇතුළත් ප්‍රාන්තරයක x = a හිදී හැර සියලු x සදහා
f(x) = g(x) නම් , එවිට
\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x) = \lim_{x\rightarrow\alpha}g(x)
- n භාග සංඛ්‍යාවක් විට,
n = \frac{p}{q} යැයි ගනිමු.
p හා q නිඛිල වේ,
\lim_{x\rightarrow\alpha}\left(\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha}\right)=\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^{\displaystyle\frac pq}-\alpha^{\displaystyle\frac pq}}{x-\alpha}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^{\left(\frac1q\right)p}-\alpha^{\left(\frac1q\right)p}}{x-\alpha}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^{\left(\frac1q\right)p}-\alpha^{\left(\frac1q\right)p}}{x^{\left(\frac1q\right)q}-\alpha^{\left(\frac1q\right)q}}
x^\frac1q = X ද, \alpha^\frac1q = A ද යැයි ගමු.
x\rightarrow\alpha විට X\rightarrow A වේ.
\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha}=\lim_{X\rightarrow A}\frac{X^p-A^p}{X^q-A^q}
= \lim_{X\rightarrow A}\frac{X^p-A^p}{X-A}\times\frac{X-A}{X^q-A^q}
= \lim_{X\rightarrow A}\frac{X^p-A^p}{X-A}\;\lim_{X\rightarrow A}\frac1{\frac{X^q-A^q}{X-A}}
= \frac{pA^{p-1}}{qA^{q-1}}
= \frac pqA^{p-q}
= \frac pqa^{\frac1q\left(p-q\right)}
= \frac pqa^{\frac pq-1}
= na n – 1
ඔබ ගමනක් යාමට ආරම්භ කලා යැයි සිතන්න. ඔබ ගමනේ මුළු දුරෙන් ක් ගෙවා ගිය පසු ඔබට තව ක දුරක් ගමන් කිරීමට ඉතුරුව තිබෙනවා. එතැන් සිට තව ක් ගමන් කල විට ඔබට තවදුරටත්, මුළු දුරෙන් ක් ගමන් කිරීමට ඉතුරුව තිබෙනවා. මෙලෙස සෑම විටම ඔබට මුළු දුරෙන් \frac12ක්,\;\;\frac14\;ක්,\;\;\frac18\;ක්,\frac1{16}\;ක්\dots.\; යනාදී වශයෙන් තවත් කොටසක් ගමන් කිරීමට ඉතුරු වෙලා තියෙනවා.
මෙහෙම බැලුවොත් කොච්චර දුර ගියත් තවත් කොටසක් ගමන් කරන්න ඉතුරු වෙලා තියනවා නේද?
කවදාවත් මේ ගමන අවසන් කරන්න බැරි වෙනවා නේද?
සීමා පිළිබඳ දැනුම භාවිතයෙන් මේ ප්‍රශ්නයට විසඳන්න ඔයාට පුළුවන්ද?
- ( 13.3 ) ගැටළු විසදීම සදහා \lim_{x\rightarrow\alpha}\left(\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha}\right) = nan – 1 භාවිතා කිරීම.
ප්‍රමේයය : – \lim_{x\rightarrow\alpha}\left(\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha}\right) = nan – 1
සාධනය :-
n ධන නිඛිලයක් විට ,
f(x) = xn – an යි ගමු.
x = a විට f(x) = an – an
= 0
එනම් ( x – a ) සාධකයකි.
එකම රටාවකට ගත් විට,
\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha} = x n – 1 + ax n – 2 + a2x n – 3 + …………………….. + a n – 1 x + a n – 1
\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha} = x n – 1 + ax n – 2 + a2x n – 3 + …………………….. + a n – 1 ]
= a n – 1 + a n – 1 + a n – 1 + …………………. + a n – 1
= n a n – 1
- n ඝෘණ නිඛිලයක් විට,
n = – m යැයි ගමු.
n € z– නිසා m € z+
\lim_{x\rightarrow\alpha}\left(\frac{x^n-\alpha^n}{x-\alpha}\right) = \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^{-m}-\alpha^{-m}}{x-\alpha}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{x^\frac1m-\alpha^\frac1m}{x-\alpha}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{\alpha^m-x^m}{x^m\alpha^m\left(x-\alpha\right)}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{-1}{x^m\alpha^m}\times\frac{{\displaystyle x}^m-\alpha^m}{\left(x-\alpha\right)}
= \lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{-1}{x^m\alpha^m}\times\lim_{x\rightarrow\alpha}\frac{{\displaystyle x}^m-\alpha^m}{\left(x-\alpha\right)}
= \frac{-1}{\alpha^m\alpha^m}\times m\alpha^{m-1}
= -m\alpha^{-m-1}
= n\alpha^{n-1}
- උදාහරණ : –
- \lim_{x\rightarrow2}\frac{x^3-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^3-2^3}{\displaystyle x-2}
= 3(2)2
= 3 x 4
= 12
- \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^\frac53-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\displaystyle x^\frac{\displaystyle5}{\displaystyle3}-1^\frac{\displaystyle5}{\displaystyle3}}{\displaystyle x-1}
= \frac53\left(1\right)^{\frac53-1}
= \frac53\times1
= \frac53
- \lim_{x\rightarrow2}\frac{x^7-128}{x^5-32}=\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^7-2^7}{\displaystyle x^5-2^5}
= \frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^7-2^7}{x-2}}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^5-2^5}{x-2}}
= \frac{7(2)^6}{5(2)^4}
= \frac{7\times2^2}5
= \frac{\displaystyle28}5
- \lim_{x\rightarrow3}\frac{x^3-27}{x^5-243}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{\displaystyle x^3+3^3}{\displaystyle x^5+3^5}
= \lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^3-\left(-3^3\right)}{x^5-\left(-3^5\right)}
= \frac{\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^3-\left(-3^3\right)}{x-\left(-3\right)}}{\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{\displaystyle x^5-\left(-3^5\right)}{x-\left(-3\right)}}
= \frac{\displaystyle3\left(3\right)^2}{5\left(3\right)^4}
= \frac{\displaystyle3}{5\times9}
= \frac{\displaystyle1}{15}
- ( 13.4 ) ගැටළු විසදීම සදහා \frac{\displaystyle\sin x}x ) = 1 සීමාව භාවිතා කිරීම.
ප්‍රමේයය : – \frac{\displaystyle\sin x}x ) = 1 ( \theta රේඩියන් )
සාධනය : \theta > 0 අවස්ථාව ,
අරය 1 වන කේන්ද්‍රය o වන වෘත්තයක් ගමු.AOB ∆වන ලෙස පරිධිය මත A,B ලකුණු කරමු. සුළු කෝණයකි.A හිදී ඇදී ස්පර්ශකයට දික් කල OB , C හිදී හමු වේ යැයි ගනිමු.
OAB ∆ වර්ගඵලය < OAB වෘත්ත ඛණ්ඩයේ වර්ගඵලය < OAC ∆ වර්ගඵලය
\frac12(1)(1) sin\theta < \frac12 (1)2 < \frac12 (1)(1) tan\theta
sin\theta < \theta < \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
ø සුළු කෝණයක් නිසා (sin\theta > 0 ) sin\theta මගින් බෙදමු.
1<\frac\theta{\sin\theta}<\frac1{\cos\theta}
\lim_{\theta\rightarrow0}1>\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}\theta>\lim_{\theta\rightarrow0}\cos\theta
1>\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}\theta>1
සැන්ඩ්විච් සිද්ධාන්තය අනුව ,
\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}\theta=1
θ < 0 අවස්ථාව ( අපෝහනයකි )
θ = -α යැයි ගනිමු.
θ < 0 නිසා -α < 0 α >0
\lim_{\theta\rightarrow0^-}\frac{\sin\theta}\theta
= \lim_{-\alpha\rightarrow0^-}\frac{\sin\left(-\alpha\right)}{-\alpha}
= \lim_{-\alpha\rightarrow0^-}\frac{-\sin\alpha}{-\alpha}
= \lim_{-\alpha\rightarrow0^-}\frac{\sin\alpha}\alpha
= 1 ( මුල් කොටසට අනුව )
- උදාහරණ : –
- \frac{\tan x}x=\frac{\sin{\displaystyle x}}x\times\frac1{\cos{\displaystyle x}}
= 1\times\frac11
= 1
- \lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\tan\theta-\theta}{\sin\theta}=\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\displaystyle\sin\theta-\theta\cos\theta}{\displaystyle\sin\theta\cos\theta}
= \lim_{\theta\rightarrow0}\frac1{\cos\theta}-\lim_{\theta\rightarrow0}\frac\theta{\sin{\displaystyle\theta}}
= \lim_{\theta\rightarrow0}\frac1{\cos\theta}-\lim_{\theta\rightarrow0}\frac1{\frac{\sin\theta}{\textstyle\theta}}
= 1-\frac11
= 0
- \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin5x+\tan7x}{6x}=\frac16\lim_{x\rightarrow0}\left[\left(\frac{\sin{\displaystyle5}{\displaystyle x}{\displaystyle\times}{\displaystyle5}}{5x}\right)+\frac{\sin{\displaystyle7}{\displaystyle x}}x\times\frac1{\cos{\displaystyle7}{\displaystyle x}}\right]
= \frac16\lim_{x\rightarrow0}\left[\left(\frac{\sin{\displaystyle5}{\displaystyle x}{\displaystyle\times}{\displaystyle5}}{5x}\right)+\frac{\sin{\displaystyle7}{\displaystyle x}}{7x}\times\frac7{\cos{\displaystyle7}{\displaystyle x}}\right]
= \frac16\left(5+7\right)
= 2
- \lim_{x\rightarrow0}\frac{x+\sin3x}{x-\sin3x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle x}{3x}+\frac{\displaystyle\sin3x}{3x}}{\displaystyle\frac{\displaystyle x}{3x}-\frac{\displaystyle\sin3x}{3x}}
= \frac{\displaystyle\frac13+1}{\displaystyle\frac13-1}
= – 2
“Be silent unless you can say something that is more useful than your silence.”
-Archimedes –
