ගැටළු යෙදෙන සම්මත ආකාර
1.\int\frac{px+q}{ax+b}dx\; ආකාරය
px+q\equiv\frac pa\left(ax+b\right)+q-p\frac ba
\begin{array}{rcl}\int\frac{px+q}{ax+b}dx&=&\int\frac{\frac pa{\displaystyle\left(ax+b\right)}{\displaystyle+}{\displaystyle q}{\displaystyle-}{\displaystyle p}\frac ba}{ax+b}dx\\&=&\int\left(\frac pa+\frac{q-p\frac ba}{ax+b}\right)dx\\&=&\frac pa\int dx+\left(q-p\frac ba\right)\int\frac1{ax+b}dx\\&=&\frac pax+\frac1a\left(q-\frac ba\ln\left|ax+b\right|+c\right)\end{array}:c අභිමත නියතය වේ
උදා:
1.\int\frac{2x+3}{3x-2}dx\;
\begin{array}{rcl}2x+3&\equiv&\frac23\left(3x-2\right)+3-2\frac{\left(-2\right)}3\\&\equiv&\frac23\left(3x-2\right)+\frac{13}3\end{array}
\begin{array}{rcl}\int\frac{2x+3}{3x-2}dx&=&\int\frac{\frac23{\displaystyle\left(3x-2\right)}{\displaystyle+}\frac{13}3}{3x-2}dx\\&=&\int\left(\frac23+\frac{\frac{13}3}{3x-2}\right)dx\\&=&\frac23\int dx+\frac{13}3\int\frac1{3x-2}dx\\&=&\frac23x+\frac{13}{3.3}\ln\left|3x-2\right|+c\\&=&\frac23x+\frac{13}9\ln\left|3x-2\right|+c\end{array}:c අභිමත නියතය වේ
2.\int\frac{x+3}{x-2}dx\;
x+3≡x-2+5
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+3}{x-2}dx&=&\int\frac{\left(x-2\right){\displaystyle+}{\displaystyle5}}{x-2}dx\\&=&\int\left(1+\frac5{x-2}\right)dx\\&=&\int dx+5\int\frac1{x-2}dx\\&=&x+5\ln\left|x-2\right|+c\end{array}:c අභිමත නියතය වේ
හරයේ ඒකජ ප්‍රකාශයක් ඇති විට ලවයේ කුමන මාත්‍රයේ බහුපද ප්‍රකාශයක් තිබුණද ගැටළුව විසඳන්නේ මේ ආකාරයටම වේ
උදා:
1.\int\frac{x^3}{x-1}dx\;
මෙහිදී x3, (x-1) න් බෙදීමෙන් හෝ බෙදුම් ඇල්ගොරිතමය යොදාගැනීමෙන්,
x^3\equiv\left(x-1\right)(x^2+x+1)+1
\begin{array}{rcl}\int\frac{x^3}{x-1}dx&=&\int\frac{(x-1)(x^2+x+1)+1}{x-1}dx\\&=&\int\left(x^2+x+1+\frac1{x-1}\right)dx\\&=&\int x^2dx+\int xdx+\int dx+\int\frac1{x-1}dx\\&=&\frac13x^3+\frac12x^2+\ln\left|x-1\right|+c\end{array}2.\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}\; ආකාරය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය සාධක වලට වෙන් වෙන අවස්ථාව
- මෙහිදි පරිමේය ශ්‍රිතය භින්න භාග වලට කැඩිමෙන් අනුකලනය කරනු ලැබේ.
- වැසුම් නීතිය යොදා ගැනීමෙන් ගැටලුව පහසු කර ගත හැක.
උදා : (01) \int\frac{dx}{x^2-x-2}
\int\frac{dx}{x^2-x-2}=\int\frac{dx}{(x-2)(x+1)}
\frac1{(x-2)(x+1)}=\frac1{3(x-2)}-\frac1{3(x+1)}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2-x-2}&=&\int\left[\frac1{3(x-2)}-\frac1{3(x+1)}\right]dx\\&=&\frac13\int\frac{dx}{x-2}-\frac13\int\frac{dx}{x+1}\\&=&\frac13\ln\left|x-2\right|-\frac13\ln\left|x+1\right|+c\end{array}: c අභිමත නියතය
උදා : (02) \int\frac{dx}{x^2+2x-8}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2+2x-8}&=&\int\frac{dx}{(x+4)(x-2)}\\&=&\int\left[-\frac1{6(x+4)}+\frac1{6(x-2)}\right]dx\\&=&-\frac16\int\frac{dx}{x+4}+\frac16\int\frac{dx}{(x-2)}\\&=&-\frac16\ln\left|x+4\right|+\frac16\ln\left|x-2\right|+c\end{array}:c අභිමත නියතය
උදා : (03) \int\frac{dx}{x^2+2x}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2+2x}&=&\int\frac{dx}{x\left(x+2\right)}\\&=&\int\left[\frac1{2x}-\frac1{2(x+2)}\right]dx\\&=&\frac12\int\frac{dx}x-\frac12\int\frac{dx}{x+2}\\&=&\frac12\ln\left|x\right|-\frac12\ln\left|x+2\right|+c\end{array}:c අභිමත නියතය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය පූර්ණ වර්ගයක් වන අවස්ථාව
- මෙහිදි \int x^ndx ආකාරයේ ගැටළු අනුකලනය කරන ආකාරයටම අනුකලනය කරනු ලැබේ.(\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\;+\;c)
උදා : (01) \int\frac{dx}{4x^2\;-4x+1}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{4x^2-4x+1}&=&\int\frac{dx}{\displaystyle\left(2x-1\right)^2}\\&=&\int(2x-1)^{-2}dx\\&=&\frac{-(2x-1)^{-1}}2\\&=&-\frac1{2\left(2x-1\right)}+c\end{array}: c අභිමත නියතය
උදා : (02)\int\frac{dx}{x^2-2x+1}
\begin{array}{l}\int\frac{dx}{x^2-2x+1}=\int\frac{dx}{(x-1)^2}\\=\int(x-1)^{-2}dx\\=\int(x-1)^{-1}\\=\frac1{x-1}+C\end{array}: Cඅභිමත නියතය
උදා : (03) \int\frac{dx}{9x^2-12x+4}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{9x^2-12x+4}&=&\int\frac{dx}{(3x-2)^{-2}}\\&=&\int(3x-2)^{-2}dx\\&=&\frac13(3x-2)^{-1}\\&=&\frac1{3(3x-2)}+C\end{array}: C අභිමත නියතය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය සාධක වලට වෙන් නොවන හා පූර්ණ වර්ගයක්ද නොවන අවස්ථාව
- මෙහිදි හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය වර්ග පූර්ණය කිරීමෙන් අනුකලනය කරනු ලැබේ.
උදා : (01) \int\frac{dx}{x^2+4x+13}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2+4x+13}&=&\int\frac{dx}{(x+2)^2+9}\\&=&\int\frac{dx}{3^2+(x+2)^2}\\&=&\frac13\tan^{-1}\left(\frac{x+2}3\right)+c\end{array}: Cඅභිමත නියතය
උදා : (02)\int\frac{dx}{x^2-2x+5}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2-2x+5}&=&\int\frac{dx}{\left(x-1\right)^2+4}\\&=&\int\frac{dx}{2^2+\left(x-1\right)^2}\\&=&\frac12\tan^{-1}\left(\frac{x-1}2\right)+c\end{array}: Cඅභිමත නියතය
උදා : (03) \int\frac{dx}{x^2+8x+20}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2+8x+20}&=&\int\frac{dx}{(x+4)^2+4}\\&=&\int\frac{dx}{2^2+(x+4)^2}\\&=&\frac12\tan^{-1}\left(\frac{x+4}2\right)+C\end{array}∶Cඅභිමත නියතය
උදා :(04) \int\frac{dx}{x^2+2x+2}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{x^2+2x+2}&=&\int\frac{dx}{(x+1)^2+1}\\&=&\int\frac{dx}{1+(x+1)^2}\\&=&\tan^-(x+1)+C\end{array}: C අභිමත නියතය
3.\int\frac{dx}{ax+bx+c}ආකාරය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය සාධක වලට වෙන් වන අවස්ථාව
- මෙහිදි පරිමේය ශ්‍රිතය භින්න භාග වලට කැඩිමෙන් අනුකලනය කරනු ලැබේ.
- වැසුම් නීතිය යොදා ගැනීමෙන් ගැටලුව පහසු කර ගත හැක.
උදා : (01) \int\frac{x+10}{2x^2+5x-3}dx
\int\frac{x+2}{2x^2+5x-3}dx=\int\frac{x+10}{(2x-1)(x+3)}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+2}{2x^2+5x-3}dx&=&\int\left[\frac3{2x-1}-\frac1{x+3}\right]dx\\&=&3\int\frac{dx}{2x-1}-\int\frac{dx}{x+3}\\&=&\frac32\ln\left|2x-1\right|-\ln\left|x+3\right|+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා: (02) \int\frac{3x-8}{x^2-5x+6}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{3x-8}{x^2-5x+6}dx&=&\int\frac{3x-8}{(x-3)(x-2)}dx\\&=&\int\left[\frac1{x-3}+\frac2{x-2}\right]dx\\&=&\int\frac{dx}{x-3}+2\int\frac{dx}{x-2}\\&=&\ln\left|x-3\right|+2\ln\left|x-2\right|+C\end{array}: C අභිමත නියතය
උදා: (03) \int\frac{2x+1}{x^2-3x+2}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{2x+1}{x^2-3x+2}dx&=&\int\frac{2x+1}{(x-2)(x-1)}dx\\&=&\int\left[\frac5{x-2}-\frac3{x-1}\right]dx\\&=&5\int\frac{dx}{x-2}-3\int\frac{dx}{x-1}\\&=&5\ln\left|x-2\right|-3\ln\left|x-1\right|+C\end{array}: C අභිමත නියතය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය පූර්ණ වර්ගයක් වන අවස්ථාව
- මෙහිදී පූර්ණ වර්ගය ඇතුළත ඇති ඒකජ ප්‍රකාශනය ඇසුරින් ලවය සකස් කර
- ගැනීමෙන් අනුකලනය කරනු ලැබේ.
- ලවය සකස් කර ගන්නා ආකාරය
උදා : (01) \int\frac{x+3}{x^2+8x+16}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+3}{x^2+8x+16}dx&=&\int\frac{x+3}{(x+4)^2}dx\\&=&\int\frac{(x+4)-1}{(x+4)^2}dx\\&=&\int\frac{dx}{x+4}-\int\frac{dx}{(x+4)^2}\\&=&\ln\left|x+4\right|+\frac1{x+4}+C\end{array} ;C අභිමත නියතය
උදා : (02)\int\frac{3x-5}{x^2-2x+1}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{3x-5}{x^2-2x+1}dx&=&\int\frac{3x-5}{(x-1)^2}dx\\&=&\int\frac{3(x-1)-2}{(x-1)^2}dx\\&=&3\int\frac{dx}{(x-1)}-2\int\frac{dx}{(x-1)^2}\\&=&3\ln\left|x-1\right|-2\int\left(x-2\right)^{-2}dx\&=&3\ln\left|x-1\right|+\frac2{x-2}+C\end{array} ;C අභිමත නියතය
උදා : (03) \int\frac{3x+2}{9x^2+6x+1}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac{3x+2}{9x^2+6x+1}dx&=&\int\frac{3x+2}{(3x+1)^2}dx\\&=&\int\frac{(3x+1)+1}{(3x+1)^2}dx\\&=&\int\frac{dx}{3x+1}+\int\frac{dx}{(3x+1)^2}\\&=&\frac13\ln\left|3x+1\right|+\int(3x+1)^{-2}dx\\&=&\frac13\ln\left|3x+1\right|-\frac1{3(3x+1)}+C\end{array}:C අභිමත නියතය
හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය සාධක වලට වෙන් නොවන හා පූර්ණ වර්ගයක්ද නොවන අවස්ථාව
- මෙහිදි හරයේ අවකලන සංගුණකය ඇසුරින් ලවය සකස් කර ගෙන අනුකලනය කරනු ලැබේ.
උදා : (01) \int\frac{x+3}{x^2+8x+25}dx
හරයේ අවකලන සංගුණකය සලකමු.
\frac d{dx}\left(x^2+8x+25\right)=2x+8
හරයේ අවකලන සංගුණකය ඇසුරින් ලවය සකස් කර ගනිමු.
X+3\equiv\frac12\left(2x+8\right)-1
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+3}{x^2+8x+25}dx&=&\int\frac{\frac12{\displaystyle(}{\displaystyle2}{\displaystyle x}{\displaystyle+}{\displaystyle8}{\displaystyle)}{\displaystyle-}{\displaystyle1}}{x^2+8x+25}dx\\&=&\frac12\int\frac{(2x+8)}{x^2+8x+25}-\int\frac{dx}{x^2+8x+25}\\&=&\frac12\ln\left|x^2+8x+25\right|-\int\frac{dx}{3^2+(x+4)^2}\\&=&\frac12\ln\left|x^2+8x+25\right|-\frac{\displaystyle1}{\displaystyle3}\tan^{-1}\left(\frac{x+4}3\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා : (02) \int\frac{x+6}{x^2-8x+20}dx
x+6\equiv\frac12\left(2x-8\right)+10\;
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+6}{x^2-8x+20}dx&=&\int\frac{\frac12(2x-8)+10}{x^2-8x+20}dx\\&=&\frac12\int\frac{(2x-8)}{x^2-8x+20}dx+10\int\frac{dx}{x^2-8x+20}\\&=&\frac12\ln\left|x^2-8x+20\right|+10\int\frac{dx}{2^2+(x-4)^2}\\&=&\frac12\ln\left|x^2-8x+20\right|+5\tan^{-1}\left(\frac{x-4}2\right)+c\end{array}:C අභිමත නියතය
විභාග ගැටළු
2014 AL
\begin{array}{rcl}\int\frac{3x+2}{x^2+2x+5}dx&=&\int\frac{3(x+1)-1}{x^2+2x+5}dx\;(05)\\&=&\frac32\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx-\int\frac{dx}{(x+1)^2+4}\;(05)\\&=&\frac32\ln\left|x^2+2x+5\right|-\frac12\tan^{-1}\left(\frac{x+1}2\right)+C\\&&\;\;\;\;\;\;\;(05)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(05)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(05)\;\end{array}:C අභිමත නියතය
4.\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}ආකාරය
- හරයේ ඇති වර්ගජ ප්‍රකාශනය වර්ග පූර්ණය කිරීමෙන් අනුකලනය සිදු කරනු ලැබේ.
- මෙහිදි පහත සූත්‍ර මතක තබා ගත යුතුයි.
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=&\sin^{-1}\left(\frac xa\right)+C\\\int\frac{\displaystyle dx}{\displaystyle\sqrt{x^2-a^2}}&=&\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C\\\int\frac{\displaystyle dx}{\displaystyle\sqrt{x^2+a^2}}&=&\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C\end{array}[/latex</span>]</span></p> <p> උදා : (01) [latex]\int\frac{dx}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}}&=&\int\frac{dx}{\sqrt{-(x^2+2x-8)}}\\&=&\int\frac{dx}{\sqrt{-\left[\left(x+1\right)^2-9\right]}}\\&=&\int\frac{dx}{\sqrt{3^2-(x+1)^2}}\\&=&\sin^{-1}\left(\frac{x+1}3\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා : (02) \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+5}}&=&\int\frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2+1}}\\&=&\ln\left|x+2+\sqrt{(x+2)^2+1}\right|+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා : (03)\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x-3}}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x-3}}&=&\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2-2^2}}\\&=&\ln\left|x+1+\sqrt{(x+1)^2-4}\right|+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා : (04) \int\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}
\begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{3+2x-x^2}}&=&\int\frac{dx}{\sqrt{-(x^2-2x-3)}}\\&=&\int\frac{dx}{\sqrt{-\left[(x-1)^2-4\right]}}\\&=&\int\frac{dx}{\sqrt{2^2-(x-1)^2}}\\&=&\sin^{-1}\left(\frac{x-1}2\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය
උදා : (05)\int\frac5{2\sqrt{6x\;-x^2-5}}dx
\begin{array}{rcl}\int\frac5{2\sqrt{6x\;-x^2-5}}dx&=&\frac52\int\frac{dx}{\sqrt{-(x^2-6x+5)}}\\&=&\frac52\int\frac{dx}{\sqrt{-\left[(x-3)^2-4\right]}}\\&=&\frac52\int\frac{dx}{\sqrt{2^2-(x-3)^2}}\\&=&\frac52\sin^{-1}\left(\frac{x-3}2\right)+C\end{array}මූලික ප්‍රමේයයන්
