04.05.03 – සම්මත ආකාර -2

5.\int\frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\;ආකාරය

• මෙය ගැටලුවකින් අවබෝධ කර ගනිමු .

උදා : (01) \int\frac{4x+9}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}}dx

• මුලින්ම හරයේ ඇති වර්ගමූල සහිත ප්‍රකාශනය අවකලනය කළ යුතුයි.

\frac d{dx}\sqrt{8\;-2x\;-x^{2\;}}=-\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{8\;-2x\;-\;x^2}}

• \sqrt{8\;-2x\;-x^{2\;}\;} යන්න අවකලනය කල විට -\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{8\;-2x\;-\;x^2}} ලෙස ලැබේ.
• ඒ නිසා -\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{8\;-2x\;-\;x^2}} යන්න අනුකලනය කල විට\sqrt{8\;-2x\;-x^{2\;}\;} ලෙස ලැබිය යුතුයි.

• \begin{array}{rcl}&&\int\;\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{8\;-2x\;-\;x^2}}dx\end{array} යන්න අනුකලනය කල විට ලැබෙන පිළිතුර අප දැන් දනිමු .
• ඒ නිසා \frac{4x+9}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}} යන්න \frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{8\;-2x\;-\;x^2}}ඇසුරෙන් සකස් කිරීමෙන් ගැටලුව විසදා ගත හැක.

\begin{array}{rcl}\int\frac{4x+9}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}}dx\;&=&\int\frac{4\left(x+1\right)+5}{\sqrt{8\;-2x\;-x^2}}dx\\&=&4\int\frac{x+1}{\sqrt{8-2x-x^2}}dx+5\int\frac{dx}{\sqrt{8-2x-x^2}}\\&=&-4\sqrt{8-2x-x^2}+5\int\frac{dx}{\sqrt{3^2-(x+1)^2}}\\&=&-4\sqrt{8-2x-x^2}+5\sin^{-1}\left(\frac{x+1}3\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය

උදා : (02) 2x+5\sqrt{12\;-4x\;-x^2}dx

\int\frac{2x+5}{\sqrt{12\;-4x\;-x^2}}dx

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\sqrt{12\;-4x\;-x^2\;}&=&-\frac{\left(x+2\right)}{\sqrt{12\;-4x\;-x^2}}\\\int\frac{x+2}{\sqrt{12-4x-x^2}}dx&=&\sqrt{12-4x-x^2}\\\int\frac{2x+5}{\sqrt{12-4x-x^2}}dx&=&\int\frac{2(x+2)+1}{\sqrt{12-4x-x^2}}dx\\&=&2\int\frac{x+2}{\sqrt{12-4x-x^2}}dx+\int\frac{dx}{\sqrt{12-4x-x^2}}\\&=&-2\sqrt{12-4x-x^2}+\sin^{-1}\left(\frac{x+2}4\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය

උදා : (03) \int\frac{4x+3}{\sqrt{2\;-x\;-x^2}}dx

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\sqrt{2\;-x\;-x^2}&=&\frac{-\left(2x+1\right)}{2\sqrt{2\;-x\;-x^2}}\\\int\frac{-(2x+1)}{2\sqrt{2-x-x^2}}dx&=&\sqrt{2\;-x\;-x^2}\\\int\frac{(2x+1)}{\sqrt{2-x-x^2}}dx&=&-2\sqrt{2\;-x\;-x^2}\\\int\frac{4x+3}{\sqrt{2-x-x^2}}dx&=&\int\frac{2(2x+1)+1}{\sqrt{2-x-x^2}}dx\\&=&2\int\frac{(2x+1)}{\sqrt{2-x-x^2}}dx+\int\frac{dx}{\sqrt{2-x-x^2}}\\&=&-4\sqrt{2-x-x^2}+\int\frac{dx}{\sqrt{\left({\displaystyle\frac32}\right)^2-\left(x+{\displaystyle\frac12}\right)^2}}\\&=&-4\sqrt{2-x-x^2}+\sin^{-1}\left(\frac{x+{\displaystyle\frac1x}}{\displaystyle\frac32}\right)+C\end{array}:C අභිමත නියතය

විභාග ගැටළු
2016
(15)(a)
(1)\int\frac{dx}{\sqrt{3+2x+x^2}} සොයන්න.
(2)\frac d{dx}\left(\sqrt{3+2x+x^2}\right) සොයා ඒ නයින් \int\frac{x-1}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx සොයන්න.
ඉහත අනුකල භාවිතයෙන් \int\frac{x+1}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx සොයන්න.
(1) \begin{array}{rcl}\int\frac{dx}{\sqrt{3+2x+x^2}}&=&\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x-1)^2}}\;\;(10)\\&=&\sin^{-1}\left(\frac{x-1}2\right)+C_1\end{array}:C₁ අභිමත නියතය
(2)\begin{array}{rcl}\;\frac d{dx}\left(\sqrt{3+2x+x^2}\right)&=&\frac12\left(3+2x+x^2\right)^\frac{-1}2\times(2-2x)\;\;(10)\\&=&\frac{1-x}{\sqrt{3+2x+x^2}}\end{array}
ඒ නයින් \int\frac{x-1}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx=-\sqrt{3+2x+x^2}+C_2:C₂අභිමත නියතය (10)
\begin{array}{rcl}\int\frac{x+1}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx&=&\int\frac{x-1}{\sqrt{3+2x+x^2}}dx+2\int\frac{dx}{\sqrt{3+2x+x^2}}(10)\\&=&-\sqrt{3+2x+x^2}+2\sin^{-1}\left(\frac{x-1}2\right)+C_3\end{array}: C₃ අභිමත නියතය

X පදවල සංගුණක සසදමු.
-5=2A-B+C (02)
නියත පද සමාන කරමු .
0=A -C (03)
( 01),(02),(03) සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=-1, B=1,C=-1
\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{-1}{\left(x-1\right)}+\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}

\begin{array}{rcl}\int\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}dx&=&\int\left[\frac{-1}{\left(x-1\right)}\;+\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\right]dx\\&=&-\int\frac{dx}{(x-1)}+\int\frac{x-1}{(x+1)^2}dx\\&=&-\ln\left|x-1\right|+\int\frac{(x+1)-2}{(x+1)^2}dx\\&=&-\ln\left|x-1\right|+\int\frac{dx}{(x+1)}-2\int\frac{dx}{(x+1)^2}\\&=&-\ln\left|x-1\right|+\ln\left|x+1\right|+\frac2{(x+1)}+C\end{array}:Cඅභිමත නියතය

විභාග ගැටළු
(15)(b)\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)} භින්න භාග ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කර ඒ නයින්\int\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx සොයන්න.

2x-1\equiv A\left(x^2+1\right)+(Bx\;+C)\left(x+1\right) (10)

\begin{array}{rcl}x^2:0&=&A+B\\x^1:2&=&B+C\\x^0:1&=&A+C\end{array}
ඉහත සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=-\frac32,B=\frac12,C=\frac32(10)
\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=-\;\frac3{2\left(x+1\right)}+\frac{3x+1}{2\left(x^2+1\right)}

:C අභිමත නියතය
(15)

6.භින්න භාග භාවිතයෙන් අනුකලනය කිරීම

• පරිමේය ශ්‍රිත අනුකලනය සදහා මෙම ක්‍රමය යොදා ගනී .
• පරිමේය ශ්‍රිතය භින්න භාගවලට සරල කර ගැනීමෙන් අනුකලනය කරනු ලැබේ .

උදා : (01) \int\frac{2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}dx

2x+1\equiv\left(Ax+B\right)\left(x-2\right)+C\left(x^2+1\right)
x²පදවල සංගුණක සසදමු.
0=A+C (01)
X පදවල සංගුණක සසදමු
2=-2A +B (02)
නියත පද සමාන කරමු .
1=-2B +C (03)
(01),(02),(03) සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=-1, B=0,C=1
\frac{2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{-x}{x^2+1}+\frac1{x-2}

\begin{array}{c}\int\frac{2x+1}{\left(x^2+1\right)\left(x-2\right)}dx=\int\left(\frac{-x}{x^2+1}+\frac1{x-2}\right)dx\\=\frac12\int\frac{2x}{x^2+1}dx+\int\frac{dx}{x-2}\\=\frac12\ln\left|x^2+1\right|+\ln\left|x-2\right|+C\end{array}:c අභිමත නියතය

උදා : (02) \int\frac{x^3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}dx

\begin{array}{rcl}\frac{x^3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}&=&(Ax+B)+\frac C{(x\;-1)}+\;\frac D{(x\;-2)}\\&=&\frac{(Ax+B)(x-1)(x-2)+C(x-2)+D(x-1)}{(x-1)(x-2)}\end{array}

x³ පදවල සංගුණක සසදමු
1=A (01)
x²පදවල සංගුණක සසදමු.
0=-3A+B (02)
X පදවල සංගුණක සසදමු
0=-3B+2A+C+D (03)
නියත පද සමාන කරමු .
0=2B -2C -D (04)
(01),(02),(03),(04) සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=1,B=3, C=-1,D=8

\frac{x^3}{(x-1)(x-2)}=(x+3)-\;\frac1{\left(x-1\right)}+\frac8{\left(x-2\right)}

\begin{array}{rcl}\int\frac{x^3}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}dx&=&\int\left[(x+3)-\frac1{(x-1)}+\frac8{(x-2)}\right]dx\\&=&\int(x+3)dx-\int\frac{dx}{(x-1)}+\int\frac{dx}{(x-2)}\\&=&\frac{(x+3)^2}2-\ln\left|x-1\right|+\ln\left|x-2\right|+C\end{array}:C අභිමත නියතය

උදා : (03) \int\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}dx

\begin{array}{rcl}\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}&=&\frac A{\left(x-1\right)}+\frac{Bx+C}{\left(x+1\right)^2}\\&=&\frac{A(x+1)^2+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}\end{array}

x²පදවල සංගුණක සසදමු.
1=A+B (01)
X පදවල සංගුණක සසදමු.
-5=2A-B+C (02)
නියත පද සමාන කරමු .
0=A -C (03)
( 01),(02),(03) සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=-1,B=1,C=-1
\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{-1}{\left(x-1\right)}+\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}

\begin{array}{rcl}\int\frac{x^2-5x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)^2}dx&=&\int\left[\frac{-1}{\left(x-1\right)}\;+\frac{x-1}{\left(x+1\right)^2}\right]dx\\&=&\int\frac{dx}{(x-1)}+\int\frac{x-1}{(x+1)^2}dx\\&=&\ln\left|x-1\right|+\int\frac{(x+1)-2}{(x+1)^2}dx\\&=&\ln\left|x-1\right|+\int\frac{dx}{(x+1)}+2\int\frac{dx}{(x+1)^2}+C\end{array}:C අභිමත නියතය

විභාග ගැටළු
(15)(b)\;\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)} භින්න භාග ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කර ඒ නයින් \int\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx සොයන්න.

2x-1\equiv A\left(x^2+1\right)+(Bx\;+C)\left(x+1\right)
x²: 0=A+B
x¹: 2=B+C
x⁰:-1=A+C
ඉහත සමීකරණ විසදිමෙන් ,
A=-\frac32,B=\frac12,C=\frac32(10)

\begin{array}{rcl}\int\frac{2x-1}{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}dx&=&-\frac32\;\int\frac{dx}{\left(x+1\right)}+\frac12\int\frac{3x}{\left(x^2+1\right)}dx+\frac12\int\frac{dx}{x^2+1}(05)\\&=&-\frac32\ln\left|x+1\right|+\frac34\ln\left|x^2+1\right|+\frac12\tan^{-1}x+C\end{array}:C අභිමත නියතය(15)

7.\int\frac{a\cos x+b\sin x}{c\cos x+d\sin x}dx ආකාරය.

• හරයේ සහ ලවයේ ඇති සෑම පදයකම sinx හා cosx වල ඒකජ ප්‍රකාශ තිබේ නම් ,
  1. පළමුව හරයේ අවකලන සංගුණකය සොයාගන්න
  2. ඉන්පසු ,ලවය\equiv\lambda\left(හරය\right)+\mu\left(\text{හරයේ අවකලන සංගුණකය}\;\right)ලෙස ප්‍රකාශ කරගෙන මෙම සර්වසාම්‍ය විසදීමෙන් \lambdaසහ\muසොයාගන්න.
  3. . දැන් දී ඇති ගැටලුවේ ලවය සඳහා ඉහත සකස් කරගත් ලවය යෙදීමෙන් අනුකලනය පහසුවෙන් සිදුකරගත හැකිය.                

උදා : (1)\int\frac{cosx\;+\;sinx\;}{2cosx\;+sinx}dx සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left(2cosx+sinx\right)&=&\;-2sinx+cosx\\\cos x+\sin x&\equiv&\lambda(2\cos x+\sin x)+\mu(-2\sin x+\cos x)\\\cos x+\sin x&\equiv&(2\lambda+\mu)\cos x+(\lambda-2\mu)\sin x\end{array}

cosx පදවල සංගුණක සැසඳීම.
1 = 2\lambda + \mu ———- 1
sinx පදවල සංගුණක සැසඳීම.
1 = \lambda – 2\mu ———- 2
1 සහ 2 න්,
\lambda = \frac{3}{5} , \mu = -\frac{1}{5}
එමනිසා , \begin{array}{rcl}\int\frac{cosx\;+\;sinx}{2cosx\;+sinx}dx&=&\int\frac{\frac35\left(2cosx\;+\;sinx\right)-\frac15(-2sinx\;+cosx)}{2cosx\;+sinx}dx\\&=&\frac35\int dx-\frac15\int\frac{(-2sinx\;+\;cosx)}{2cosx\;+\;sinx}dx\\&=&\frac35x-\frac15\ln\left|2\cos x+\sin x\right|+C\end{array}]

උදා : (2) \int{\frac{sinx}{sinx\ +\ cosx}dx} සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}(sinx+cosx)&=&cosx-sinx\\sinx&\equiv&\;\lambda\left(sinx+cosx\right)+\mu(cosx-sinx)\\sinx&\equiv&\left(\lambda-\mu\right)sinx+(\lambda+\mu)cosx\end{array}

sinx පදවල සංගුණක සැසඳීම.
1 = \lambda–\mu ———- 1
cosx පදවල සංගුණක සැසඳීම.
0 = \lambda+\mu ———- 2
1 සහ 2 න් ,
\lambda=\frac{1}{2}\ , \mu=-\frac{1}{2}
එමනිසා , \begin{array}{rcl}\int\frac{sinx}{sinx\;+cosx}dx&=&\int\frac{\frac12\left(sinx\;+cosx\right)\;-\frac12(cosx\;-\;sinx)}{sinx\;+\;cosx}dx\\&=&\frac12\int dx+-\int\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}dx\\&=&\frac12x-\frac12\ln\left|\sin x+\cos x\right|+C\end{array}

උදා : (3) \int{\frac{2sin3x\ -cos3x}{3cos3x\ +\ 4sin3x\ }dx} සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\frac d{dx}(3cos3x+4sin3x)&=&3\left(-sin3x\right).3\;+4cos3x.3\\&=&\;-9sin3x+12cos3x\end{array}

sin3x පදවල සංගුණක සැසඳීම.
2 =4\lambda – 9\mu ———- 1
cos3x\ පදවල සංගුණක සැසඳීම.
-1=3\lambda+12\mu ———- 2
1 සහ 2 න්,
\lambda=\frac{1}{5}\ ,\ \mu=\ -\frac{2\ }{15}
එමනිසා , \begin{array}{rcl}\int\frac{2sin3x\;-cos3x}{3cos3x\;+4sin3x\;}dx&=&\int\frac{{\displaystyle\frac15}\left(3cos3x\;+\;4sin3x\right)\;-{\displaystyle\frac2{15}}(-9sin3x\;+12cos3x)}{3cos3x\;+4sin3x}dx\\&=&\frac15\int dx-\frac2{15}\int\frac{(-9\sin3x+12\cos3x)}{3\cos3x+4\sin3x}dx\\&=&\frac x5-\frac2{15}\ln\left|3\cos3x+4\sin3x\right|+C\end{array}

8.\int\sin^mxdxසහ \int\cos^mxdx ආකාරය.

• m ඔත්තේ හෝ ඉරට්ටේ වීම අනුව මෙම ආකාරයේ ගැටළු ආකාර දෙකකට විසඳිය හැක.

m ඉරට්ටේ අවස්ථාව

මෙවිට\cos{2\theta} ප්‍රසාරණය මගින් \sin^m{x} හෝ \cos^m{x} පදය රේකීය ප්‍රකාශනවලට හැරවීමෙන් අනුකලනය සිදුකල යුතුය.

\begin{array}{l}\cos2\theta=2\cos^2\theta-1\\\cos2\theta=1-2\sin^2\theta\end{array}

උදා : (1) \int\sin^{2\;}xdx සොයන්න.

විසඳුම : \cos{2x=1-2\sin^2{x}} නිසා,
\sin^2{x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{2x}}
එමනිසා , \begin{array}{rcl}\int\sin^{2\;}xdx\;&=&\;\int{(\frac12-\frac12\cos2x)}dx\\&=&\;\frac12\int dx-\frac12\int cos2xdx\\&=&\;\frac12x-\frac14sin2x+c\end{array}

උදා : (2) \int{\cos^2{4x}dx} සොයන්න.

විසඳුම :\begin{array}{rcl}\cos8x&=&2\cos^24x-1\;\\cos^24x&=&\frac12+\frac12\cos8x\end{array}

එමනිසා ,\begin{array}{rcl}\int\cos^{2\;}4x\;dx&=&\int{(\frac12\;+\frac12cos8x)dx}\\&=&\frac12\int dx+\frac12\int cos8x\;dx\\&=&\;\frac12x+\frac12.\frac18sin8x+c\\&=&\;\frac12x+\frac1{16}\;sin8x+c\end{array}

උදා : (3) \int\cos^{4\ }{3x\ dx} සොයන්න.

විසඳුම :\begin{array}{rcl}\cos6x\;\;&=&\;2\cos^23x-1\\\cos^23x&=&\frac12(\;1+\;\cos{6x\;)}\\cos^43x&=&\left[\frac12(1+cos6x)\rbrack^2\right]\\&=&\;\frac14(1+2\cos6x+\;\cos^26x)\\&=&\;\frac14+\frac12\cos6x+\;\frac14\cos^26x\\&&\\\cos12x&=&\;2\cos^26x-1\\&&\;\cos^2{6x=\frac12(\cos12x+1)}\end{array}

එමනිසා , \begin{array}{rcl}\cos^43x&=&\frac14\;+\frac12\cos{6x+\frac14.\frac12(\cos12x+1)}\\&=&\frac14\;+\frac12\cos6x+\frac18\cos12x+\frac18\\&=&\;\frac38+\frac12\cos6x+\frac18\cos12x\end{array}

එමනිසා , \begin{array}{rcl}\int\cos^{4\;}3x\;dx&=&\;\int{(\frac12\cos6x+\frac18\cos12x+\frac38)dx\;}\\&=&\;\frac12\int\cos6xdx+\frac18\int\cos12xdx+\frac38\int dx\\&=&\;\frac12.\frac16\sin6x+\frac18.\frac1{12}\sin12x+\frac38x+\;c\\&=&\frac1{12}\sin6x+\frac1{96}\sin12x+\frac38x+c\end{array}

m ඔත්තේ අවස්ථාව.

\int\left\{f(x)\right\}^nf^1(x)dx=\frac{\left\{f(x)\right\}^{n+1}}{n+1}+c

ආකාරයට අනුව සකස් කිරීමෙන් මෙම අනුකලනය සිදුකළ හැක.

උදා : (1) \int\sin^3{x}dx සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\int\sin^3x\;dx&=&\;\int\sin^2x.\sin x\;dx\\&=&\;\int{(1-\cos^2x)}\sin x\;dx\\&=&\;\int\sin xdx-\int\cos^2x\sin xdx\\&=&\;\int\sin x\;dx+\;\int\cos^2{x(-\sin x)}dx\\&=&\;-\cos x+\frac13\cos^3x+c\;\end{array}

උදා : (2) \int{\cos^3{2x}dx\ }සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\int\cos^{3\;}2xdx&=&\int\cos^22x.\cos2xdx\\&=&\;\int\left(1-\sin^22x\right).\cos2xdx\\&=&\;\int\cos2x\;dx-\;\int\sin^22x.\cos2xdx\\&=&\;\int\cos2x\;dx-\frac12\int\sin^2{2x(2\cos{2x)\;dx}}\\&=&\;\frac{\sin2x}2-\frac12\frac{\sin^32x}3+c\\&=&\;\frac{\sin2x}2-\;\frac{\sin^32x\;\;}6+c\end{array}

උදා : (3) \int\sin^5{x}dx සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\int\sin^{5\;}x\;dx&=&\;\;\int\sin^4x.\sin xdx\\&=&\int{(1-\cos^2x)}^2\sin xdx\\&=&\;\int\left(1-2\cos^2x+\;\cos^4x\right)\sin xdx\\&=&\;\int\sin xdx-2\int\cos^2x\sin x\;dx+\;\int\cos^4x\sin xdx\\&=&\;\int\sin xdx+2\int\cos^2x\left(-\sin x\right)dx-\;\int\cos^4x\left(-\sin x\right)dx\\&=&\;-\cos x+\frac23\cos^3x-\frac15\cos^5x+c\end{array}

උදා : (4) \int\cos^7{5x}dx සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\int\cos^75x\;dx&=&\int\cos^65x.\cos5x\;dx\\&=&\int{(1-\sin^25x)}^3.\cos5xdx\\&=&\;\int{(1-3\sin^25x+\;3\sin^45x-\;\sin^65x)\cos5x}dx\\&=&\;\int\cos5x\;dx-3\int\sin^25x.\cos5x\;dx+3\int\sin^45x\cos5xdx-\;\int\sin^65x\cos5x\;dx\\&=&\;\int\cos5xdx-\frac35\int{\sin^25x.(5\cos5x)}dx+\frac35\int\sin^45x\left(5\cos5x\right)dx-\frac15\int{\sin^65x(5\cos5x)}dx\\&=&\;\frac{\sin5x}5-\frac35.\frac13\sin^35x+\frac35.\frac15\sin^55x-\frac15.\frac17\sin^75x+c\\&=&\;\frac{\sin5x}5-\frac15\;\sin^35x+\frac3{25}\sin^55x-\frac1{35}\sin^75x+c\end{array}

උදා : (5) \int\sin^6{5x}dx සොයන්න.

විසඳුම : \begin{array}{l}\cos10x=1-2\sin^25x\;\\\sin^2{5x=\frac12(1-\cos10x)}\end{array}

එමනිසා , \begin{array}{rcl}\sin^65x\;&=&{\frac12(1-\;\cos10x)}^3\\&=&\frac18{(1-\cos10x)}^3\\&=&\;\frac18(1-3\cos10x+3\cos^210x-\;\cos^310x)\end{array}

\begin{array}{c}\cos20x=2\cos^210x-1\\\cos^2{10x=\frac12(\cos20x+1)}\end{array}

එමනිසා , \sin^6\left(5x\right)=\frac18{1\;-\;3\cos\left(10x\right)+\frac32(\cos\left(20x\right)+1)-\cos^3\left(10x\right)}

I =\;\int\cos^310x\;dx\;\;\; යැයි ගනිමු.

එමනිසා , \begin{array}{rcl}\;\int\sin^65x\;dx&=&\frac5{16}x-\frac38.\frac1{10}.\sin10x+\frac3{16}.\frac1{20}.\sin{20x-\frac18(\frac{\sin10x}{10}-\frac{\sin^310x}{30})}+c\\&=&\;\frac5{\;\;16}x-\frac3{80}\sin10x+\frac3{320}\sin20x-\frac{\sin10x}{80}+\frac{\sin^310x}{240}+c\end{array}

උදා : (6) \int{\sin^3{x\cos^2{x}}dx} සොයන්න.

විසඳුම : \begin{array}{rcl}\int\sin^22x\cos^32xdx&=&\int\sin^22x.\cos^22x.\cos2xdx\\&=&\;\int\sin^22x\left(1-\sin^22x\right).\cos2x\;dx\\&=&\int\sin^22x\cos2x\;dx-\;\int\sin^42x\cos2x\;dx\\&=&\;\frac12\int\sin^22x\left(2\cos2x\right)dx-\frac12\int\sin^4{2x(2\cos2x)dx}\\&=&\;\frac12.\frac13.\sin^32x-\frac12.\frac15\;\sin^52x+c\\&=&\;\frac16\sin^32x-\frac1{10}\sin^52x+c\end{array}