04.03.03 – ශ්‍රිතයක හැසිරීම සහ වක්‍ර අනුරේඛනය

සං‍යුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ගැටලුවක හා B කොටසේ 14 වැනි ගැටලුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි සිද්ධාන්ත වේ.

සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ සහිත ප්‍රස්තාර

උදා: (13.)    f (x) = \frac{x^2}{(x-1)(x-5)}  ;    x ≠ 1 , 5

ඉහත වක්‍රයේ   i) ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය සොයන්න.
                 ii) f (x) ශ්‍රිතයේ සාපේක්ෂ උපරිම හා අවම අගයන් සොයන්න.
                 iii)  y  = f(x) ශ්‍රිතයේ සිරස් හා තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ සොයා වක්‍රයේ දළ සටහනක් අඳින්න.
එනයින් 
           \frac{x^2}{(x-1)(x-5)\left(℮^{-x}\right)} = 0 හි මූල සංඛ්‍යාව සොයන්න.

1. f(x) =\frac{x^2}{x^2-6x+5}
              x විෂයෙන් වරක් අවකලනයෙන්,
                        \begin{array}{rcl};f'(x);&=&\frac{2x(x^2-6x+5)-x^2(2x-6)}{(x-1)^2(x-5)^2}\;f'(x);&=&\frac{(2x^3-12x^2+10x-2x^3+6x^2)}{(x-1)^2(x-5)^2}\;f'(x);&=&\frac{(-6x^2+10x)}{(x-1)^2(x-5)^2}&&&&\end{array}           

          ස්තාවර ලක්ෂ්‍යයන් සඳහා,
                      f’ (x) = 0
\begin{array}{rcl}&&\frac{-x(6x-10)}{(x-1)^2(x-5)^2}\end{array}  = 0
              x=0 හෝ   6x-10 = 0

                         x= \frac{5}{3}

\frac{dy}{dx} =>

x = 0 විට, y = 0                                x = x= \frac{5}{3} විට, y = \frac{-5}{4}

(0, 0) අවමයකි.                                    (\frac{5}{3}, \frac{-5}{4}) උපරිමයකි.
Lim _x→∞ f(x) = lim   _x→∞   \begin{array}{rcl}&&\frac{x^2}{(x-1)(x-5)}&&\end{array}
                         = lim   _x→∞     \begin{array}{rcl}&&\frac{x^2}{x^2\left(1-;{\frac6x}+{\frac5{x^2}}\right)}&&\end{array}
                         = 1

lim  _x→±∞   y = 1
තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : y = 1
සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : x = 1 හා x = 5
Lim  _x→1^–   y = +∞                                                                     lim  _x→5^–   y = -∞
lim  _x→1⁺   y = -∞                                                                      lim  _x→5⁺   y =+∞

මෙම ප්‍රස්තාරයේ ඡේදන ලක්ෂ්‍ය එකකි.

\frac{x^2}{(x-1)(x-5)}=℮^{-x} විට, සමීකරණයේ මූල ගණන 1 කි.

උදා: (14.) y=\frac{2x^2}{(x^2-4)}
                y=\frac{2x^2}{(x^2-4)}
                y=\frac{2x^2}{(x-2)(x+2)}   ;  x ≠ 2 , -2

මෙහි x = 2 හා x = -2 වසම තුළ නොමැත. එබැවින් x = 2 හා x = -2 සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ ලෙස හැඳින්වේ.

\frac{dy}{dx}=\frac{((x^2-4)(2)(2x)-(2x^2)(2x))}{(x^2-4)^2} 
\frac{dy}{dx}=\frac{4x^2-16x-4x^3}{(x^2-4)^2}
\frac{dy}{dx}=-\frac{16x}{(x^2-4)^2}
\frac{dy}{dx}=-\frac{16x}{((x-2)^2(x+2)^2}

ස්තාවර ලක්ෂ්‍ය සඳහා,
                             \begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{-16x}{\left(x-2\right)^2\left(x+2\right)^2}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0\end{array}     
\frac{dy}{dx} =>         

x = 0 විට, y = 0
lim _x→5^–   y = +∞                                                      lim _x→2^–   y = -∞
lim _x→5⁺  y = -∞                                                      lim _x→2⁺   y = +∞
lim _x→∞   y = lim _x→∞  \begin{array}{l}\frac{2x^2}{\left(x^2-4\right)}\end{array}
lim _x→∞   y = lim _x→∞  \frac{2x^2}{x^2(1-\frac{4}{x^2})}
                 = 2

තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ :  y = 2
(x අනන්තයට යන විට y ගේ අගය)
සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ :  x = 2 හෝ x = -2

උදා: (15)   x≠±1 සඳහා f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+\frac{b}{x+1}යැයි ගනිමු. a, b තාත්වික නියත වේ. y = f(x) ප්‍රස්තාරයට (0,2) හිදී හැරුම් ලක්ෂ්‍යයක් ඇති බව දී ඇත. a , b සොයා, (0,2) යනු එකම හැරුම් ලක්ෂ්‍යය බව පෙන්වන්න. හැරුම් ලක්ෂ්‍යය හා ස්පර්ශෝන්මුඛ පැහැදිලිව දක්වමින් y = f(x) හි ප්‍රස්තාරයේ දළ සටහනක් අඳින්න. එනයින් |f(x)|  ප්‍රස්තාරයේ දළ සටහනක් අඳින්න.

f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}

f'(x)=\frac{(x-1)^2(0)-a(2)(x-1)}{(x-1)^4}+\frac{(x+1)(0)-b(1)}{(x+1)^2}

f'(x)=-\frac{2a(x-1)}{(x-1)^4}-\frac{b}{(x+1)^2}

f'(x)=-\frac{2a}{(x-1)^3}-\frac{b}{(x+1)^2}
x = 0 විට, f’(x) = 0

-\frac{2a}{(x-1)^3}-\frac{b}{(x+1)^2}=0

-\frac{2a}{-1}-\frac{b}{1}=0
2a=b                                     

x = 0 විට, y = 2 වේ. [හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (0,2) බව දී ඇත.]

f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+\frac{b}{x+1}

 2 = \frac{a}{(0-1)^2}+\frac{b}{0+1}

       2 = \frac{a}{1}+\frac{b}{1}
       2 = a+b
       2 = a+2a
       a = \frac{2}{3}
       b = \frac{4}{3}

f'(x) = \frac{-\frac{4}{3}}{(x-1)^3}-\frac{\frac{4}{3}}{(x+1)^2}
f'(x) = \frac{(-\frac{4}{3})[(x+1)^2+(x-1)^3]}{(x-1)^3(x+1)^2}
f'(x) = \frac{(-\frac{4}{3})(x^3-2x^2+6x}{(x-1)^3(x+1)^2}
f'(x) = \frac{(-\frac{4x}{3})(x^2-2x+6}{(x-1)^3(x+1)^2}

                                 (+)

f'(x) = \frac{(-\frac{4x}{3})(x^2-2x+5}{(x-1)^3(x+1)^2}

[(x-1)²+4 තුළින් (+) පිළිතුරක් ලැබේ.]

එමනිසා මේ සඳහා තිබිය හැක්කේ එක ස්තාවර ලක්ෂ්‍යයක් පමණි. (0,2)

(0, 2 )  අවම ලක්ෂ්‍යයකි.

lim _{x→ ∞}   f(x) = lim _x→∞    \frac{a}{\left(x-1\right)^2}+\frac{b}{\left(x+1\right)} 
lim _{x→ ∞}   f(x)  = lim_x→∞   \frac{\frac{2}{3(x+1)}+\frac{4}{3(x-1)^2}}{(x-1)^2(x+1)} 

lim _{x→ +∞}  y = 0              lim _{x→- ∞}  y = 0
තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : y = 0
සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : x = 1 හෝ x = -1
Lim _{x→ -1}^–   y = -∞                          lim_x→1^–   y = +∞
Lim _{x→ -1}⁺   y = -∞                          lim_x→1⁺   y = +∞

උදා: (16.)    y=\frac{3(x+1)}{x(x-3)} ; x ≠ 0,3

                  \frac{dy}{dx}=\frac{x(x-3)(3)-(3x+3)(2x-3)}{[x(x-3)]^2} 
                  \frac{dy}{dx}=\frac{3x^2-9x-6x^2+9x-6x+9}{[x(x-3)]^2} 
                  \frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2-6x+9}{(x^2-3x)^2} 
                  \frac{dy}{dx}=-(\frac{3(x^2+2x-3)}{(x^2-3x)^2} 
                  \frac{dy}{dx}=-(\frac{3(x+3)(x-1)}{(x^2-3x)^2}                

ස්තාවරලක්ෂ්‍ය සඳහා,

                   \frac{dy}{dx}= 0

\frac{-3\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2-3x\right)^2}=0
     x+3 = 0        හෝ      x-1 = 0
     x = -3        හෝ         x = 1
     x  =  -3  විට ,
                          y = \frac{3x-3+3}{-3(-3-3)}
                          y = \frac{-6}{18}
                          y = \frac{-1}{3}

     x = 1 විට,
                          y = \frac{6}{(-2)}
                          y =-3

lim _x→3^–    y = -∞                                              lim_x→0^–    y = +∞
lim _x→3⁺    y = +∞                                             lim_x→0⁺     y = -∞

lim _{x→ ∞}  y = lim  _x→∞  \frac{3x+3)}{x(x-3)}

lim _{x→ ∞}  y  =   lim _x→∞   \frac{3x(1+\frac{1}{x})}{x^2(1-\frac{3}{x})}

lim _{x→ ∞}  y  =0

තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : y = 0

සිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛ : x = 0 හෝ x = 3

එමනිසා මෙය වැඩිවන නතිවර්තයකි.