04.03.02 – ශ්‍රිතයක හැසිරීම සහ වක්‍ර අනුරේඛනය

සං‍යුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ගැටලුවක හා B කොටසේ 14 වැනි ගැටලුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි සිද්ධාන්ත වේ.

මූලික අවකල ප්‍රස්තාර

ප්‍රස්තාරයක හැරුම් ලක්ෂ්‍යය (ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය)

• ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය වර්ග 4කි.

1. උපරිම ලක්ෂ්‍යය
2. අවම ලක්ෂ්‍යය
3. වැඩිවන නතිවර්තය
4. අඩුවන නතිවර්තය

• මේ ඕනෑම ස්තාවර ලක්ෂ්‍යයකදී, \frac{dy}{dx} = 0 වේ.

1. අවම ලක්ෂ්‍යය

                       x = a විට,  \frac{dy}{dx}= 0 යැයි සලකමු.

• x < a විට, \frac{dy}{dx} < 0 ද
• x = a විට, \frac{dy}{dx} = 0 ද
• x > a විට, \frac{dy}{dx} > 0 ද විට, x = a අවම ලක්ෂ්‍යයකි.

• උපරිම ලක්ෂ්‍යය

                        x = a විට, \frac{dy}{dx} = 0 යැයි සලකමු.

• x < 0 විට, \frac{dy}{dx}> 0 ද
• x = a විට, \frac{dy}{dx}= 0 ද
• x > 0 විට, \frac{dy}{dx}< 0 ද විට x = a උපරිම ලක්ෂ්‍යයකි.

• අඩුවන නතිවර්ත ලක්ෂ්‍යය

                      x = a විට,  = 0 යැයි සලකමු.

• x < a විට, \frac{dy}{dx} < 0 ද
• x = a විට, \frac{dy}{dx} = 0 ද
• x > a විට,\frac{dy}{dx} < 0 ද විට x = a අඩුවන නතිවර්තන ලක්ෂ්‍යයකි.
• වැඩිවන නතිවර්ත ලක්ෂ්‍යය

              x = a විට,\frac{dy}{dx}= 0 යැයි සලකමු.

• x < a විට, \frac{dy}{dx}> 0 ද
• x = a විට, \frac{dy}{dx}= 0 ද
• x > a විට, \frac{dy}{dx}> 0 ද විට x = a වැඩිවන නතිවර්ත ලක්ෂ්‍යයකි.

අවකල ප්‍රස්තාරයක් ඇඳීමේ පිළිවෙල (පළමු අවකල සංගුණකය භාවිතයෙන්)

Step 1:- දී ඇති ශ්‍රිතය අවකලනය කරන්න.

Step 2:- \frac{dy}{dx}= 0 යොදා ස්තාවර ලක්ෂ්‍යවල x ඛණ්ඩාංක ලබාගන්න.

Step 3:- එම x අගයන්ට අදාල y අගයන් ලබාගන්න.

Step 4:- ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය වර්ගීකරණය කරන්න.

Step 5:- x→±∞ විට y හි අගය ලබාගන්න.

Step 6:- ප්‍රස්තාරය අඳින්න.

උදා: (9.)   y = x²-2x+3

                      \frac{dy}{dx} = 2x-2

                      \frac{dy}{dx} = 2(x-1)

ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය සඳහා,

                  \frac{dy}{dx} = 0

           2(x-1) = 0

               x -1 = 0

                     x = 1

                     x = 1 විට,

                     y = 1²-2(1) +3

                     y = 2

එමනිසා (1,2) අවම ලක්ෂ්‍යයකි.

Lim _x→∞   y = lim   _x→∞   (x²-2x+3)

                         = lim   _x→∞    x²(1- 2/x + 3/x²)

Lim _x→±∞   y = ∞  

උදා: (10.)    y=2x³-3x²-12x+13

                  \frac{dy}{dx} =6x²-6x-12

                  \frac{dy}{dx} =6(x²-x-2)

ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය සඳහා,

                       \frac{dy}{dx} = 0

          6(x²-x-2) = 0

               x² -x-2 = 0

 ( x- 2 ) ( x + 1) = 0

      x = 2 හෝ x = -1

       x = 2 විට, y = (-7)                     x = (-1) විට, y = 20

එමනිසා (-1,20) උපරිම ලක්ෂ්‍යයද (2,-7) අවම ලක්ෂ්‍යයද වේ.

 lim _x→∞   y   =   lim  _x→∞   x³(2- 3/x -12/x² + 13/x³)

lim _x→+∞   y  = ∞      lim _x→-∞   y =  -∞

උදා: (11.)    y = -(x-1)³

                   \frac{dy}{dx} = -3(x-1)²

ස්තාවර ලක්ෂ්‍යය සඳහා,

                      \frac{dy}{dx} = 0

            -3(x-1)² = 0

              (x- 1)²   = 0

                         x = 1

             x = 1  විට ,  y  =  0

lim _x→∞    y  =  lim _x→∞  -(x-1)2 =  ∞

lim _x→-∞    y = -∞

උදා: (12.)    y = (x²-1)/(x²+1)

                     \frac{dy}{dx} = {(x²+1) (2x)-(x²-1) (2x)}/(x²+1)²

  \frac{dy}{dx}= (2x³+2x-2x³+2x)/(x²+1)²

                          \frac{dy}{dx}= 4x/(x²+1)²

ස්තාවර ලක්ෂ්‍යයන් සඳහා,

                     \frac{dy}{dx} = 0

     4x/(x²+1)² = 0

                        x = 0

x = 0 විට, y = -1

එමනිසා (0,-1) අවම ලක්ෂ්‍යය වේ.

Lim _{x→ ∞}    y =  lim _x→∞ {(x²-1)/(x²+1)}

                       = lim _x→∞ {x²(1- 1/x²)}/{x²(1+ 1/x²)}

                       = 1

• යම් ප්‍රස්තාරයක x→±∞ විට y හි අගය පරිමිත නියත අගයක් ලැබේනම් එය තිරස් ස්පර්ශෝන්මුඛයක් ලෙස

හැඳින්වේ.