සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ගැටලුවක හා B කොටසේ 14 වැනි ගැටලුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.
ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය
උදාහරණ :
- y = sinx ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.
y = sinx → \Boxed1
x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y නම්,
y +∆y = sin( x + ∆x) → \Boxed2
\Boxed2 - \Boxed1 න්,
\;\;\frac{\;\triangle y}{\triangle x\;}\;\;=\;\;\;\frac{\sin\;(x+\;\triangle x)\;–\;\sin x}{\triangle x\;}
\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\frac{\;\triangle y}{\;\triangle x\;}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\;\cos\;(\frac{2x\;+\;\triangle x}2)\frac{\;\sin\;(\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}
\;\;\frac{dy}{dx}\;\;=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\cos\;(2x\;+\;\triangle x/2).\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\frac{\sin\;(\triangle x/2)}{\triangle x/2\;\;}
\frac{dy}{dx} = cos x
- y = cosx ප්‍රමූලධර්ම මඟින් අවකලනය කරන්න.
y = cosx → \Boxed1
x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y නම්,
y +∆y = cos( x + ∆x) → \Boxed2
\Boxed2 - \Boxed1 න්,
\frac{\triangle y}{\triangle x}\;\;=\;\;\;\frac{\cos\;(x+\;\triangle x)\;–\;\cos\;x}{\triangle x}\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\triangle y}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin{(2x+\triangle x)/2}\sin(-\triangle x/2)}{\;\triangle x/2}
\frac{dy}{dx}=\lim_{\triangle x\rightarrow0}sin{(2x+\triangle x)/2}\lim_{\triangle x\rightarrow0}\frac{\sin(-\triangle x/2)}{\;\;\triangle x/2\;\;\;\;}
\frac{dy}{dx} = ‒ sin x
\frac{\operatorname d\sin x}{\operatorname dx}=\cos x
\frac{\operatorname d\cos x}{\operatorname dx}=-\sin x
\frac{\operatorname d\tan x}{\operatorname dx}=-sec^2x
\frac{\operatorname d\cos ecx}{\operatorname dx}=-\cos ecx\times cotx
\frac{\operatorname d\text{sec}x}{\operatorname dx}=\text{sec}x\times\tan x
\frac{\operatorname d\text{cot}x}{\operatorname dx}=-\text{cosec}^2x
- y\;=\;\sin^3x
\frac{dy}{dx} = cos3x × 3
- y = sin3 2x
\frac{dy}{dx} = 3sin2 2x cos2x ×2
- y = sec2√( x2 + 1)
\frac{dy}{dx} = \frac{2\;sec\surd(\;x^2\;+\;1)\lbrack sec\surd(\;x^{2\;}+\;1)\tan\surd(\;x^2+\;1)\rbrack\;\times\;1\;\times\;2x}{2\surd(x^2\;+\;1)}
ප්‍රතිලෝම ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අවකලනය
- . y = sin-1x (-1≤ x ≤1)
x = sin y
\frac{dx}{dy} = cos y
\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}
\frac{dy}{dx}=\frac1{\cos{\displaystyle y}}
\frac{dy}{dx}=\frac1{\;\surd(\;1\;–\;\sin^2\;y\;)}
\frac{dy}{dx}=\frac1{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;\;}
- y = cos-1x (-1≤ x ≤1)
x = cos y
\frac{dx}{dy}= ‒sin y
\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}
\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sin{\displaystyle\;}{\displaystyle y}}
\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;\cos^2\;y\;)}
\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\surd(\;1\;–\;x^2\;)\;}
- y = tan-1x (-∞<x<+∞)
x = tan y
\frac{dx}{dy} = sec2 y
\frac{dx}{dy}=\frac1{dy/dx}
\frac{dy}{dx}=\frac1{sec^2\;y\;}
\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;\tan^2\;y\;\;\;}
\frac{dy}{dx}=\frac1{1\;+\;x^2\;\;\;\;}
ඝාතීය ශ්‍රිත අවකලනය
\;\;e^x\;=\;\left(1+\frac{\;x}{1!\;}\;+\;\;\frac{x^2}{2!}\;+\frac{\;x^3}{3!}+……….+\frac{\;x^n\;}{n!}\right)
ක්‍රමාරෝපිත අංකනය
ධන නිඛිල සඳහා පමණක් ක්‍රමාරෝපිත අංකනය අර්ථ දක්වයි. දී ඇති නිඛිලයක ක්‍රමාරෝපිතය යනු 1 සිට එම අගය දක්වා ඇති අනුයාත නිඛිල වල ගුණිතයයි.
n නිඛිලයක් විට,
ක්‍රමාරෝපිත n = n!
\text{n!=1×2×3×………….×n}
y = ex හි අවකලන සංගුණකය සෙවීම
y = ex
y = ex → \Boxed1
x ට ∆x වෘද්ධියක් දුන් විට y හි වෘද්ධිය ∆y නම්,
y +∆y = e x+∆x → \Boxed2
\Boxed2 - \Boxed1 න්,
\frac{\;\;\triangle y}{\;\;\triangle x} = \frac{e\;^{(x+\;\triangle x})\;–\;e^x}{\;\triangle x\;\;}
lim ∆x→0 \frac{\;\;\triangle y}{\;\;\triangle x} = lim ∆x→0 \frac{e\;^{(x+\;\triangle x})\;–\;e^x}{\;\triangle x\;\;}
\frac{dy}{dx} = lim ∆x→0 \frac{\;e^x\;\;\left(e^{\triangle x}\;\;–\;1\right)}{\triangle x\;}
\frac{dy}{dx} = \frac{\lim_{\triangle x\rightarrow0}e^x\;.\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\;\;\left[1+{\displaystyle\frac{\;\triangle x}{1!}}\;+\;{\displaystyle\frac{\;(\triangle x)^2\;}{\;\;2!}}+{\displaystyle\frac{\;(\triangle x)^3}{\;3!}}+\;\dots\dots\;‒1\right]}{\triangle x}
\frac{dy}{dx} = \;e^x\;.\;\;\;\lim_{\triangle x\rightarrow0}\;\left[\frac{\;1}{\;1!}\;+\frac{\;\;\triangle x}{\;2!}\;+\frac{\;\triangle x}{\;3!}\;+\;\dots\dots\dots\dots\right]
\frac{dy}{dx} = ex ( 1 + 0 + 0 + …….)
= ex
y = ex
\frac{dy}{dx} = ex
උදාහරණ :
- y = e-x
\frac{dy}{dx} = ‒ e-x
2.y = e x²+1
\frac{dy}{dx} = 2x e x²+1
3.y = e xsinx
\frac{dy}{dx} = e xsinx ( xcosx + sinx)
4.\begin{array}{l}y=\sqrt{1-x^2}.e^{\sin^{-1}x}\\\frac{\displaystyle dy}{dx}=\frac{\displaystyle\sqrt{1-x^2}e^{\sin^{-1}x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{\displaystyle e^{\sin^{-1}x}\left(-2x\right)}{{\displaystyle2}\sqrt{1-x^2}}\\\frac{\displaystyle dy}{dx}=e^{\sin^{-1}x}\left[1-\frac x{\sqrt{1-x^2}}\right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
y = lnx හි අවකලන සංගුණකය සෙවීම
y = lnx
x = ey
\frac{dx}{dy} = ey
\frac{dy}{dx}=\frac1{e^y}
\frac{dy}{dx}=\frac1x
y = lnx
\frac{dy}{dx}=\frac1x
උදාහරණ :
1. y = ln │ x2 + 1│
\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{\;x^2\;+\;1}
2. y = ln [ tan -1√( x2 – 1 )]
\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{\;2x}{\;\tan\;^{-1}\surd(\;x^2\;–\;1)\rbrack\;(1+\;x^2\;–\;1)\;\;\;\;2\surd(\;x^2\;–\;1)}\\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle\;\tan\;^{-1}\surd(\;x^2\;–\;1)\;x\;\surd(\;x^2\;–\;1)}\end{array}
අධ්‍යාහෘත ශ්‍රිත අවකලනය
- ස්වායක්ත විචල්‍ය මඟින් පරායත්ත විචල්‍ය සෘජුවම ප්‍රකාශ නොවන ශ්‍රිත අධ්‍යාහෘත ශ්‍රිත නම් වේ.
උදාහරණ : y2 = 2xy + x2
y = sin(x2+y)
- මෙවැනි ශ්‍රිත වල අවකලන සංගුණකය සෙවීමේදී දාම නීතිය යොදා ගනී.
y2 = 2xy + x2
- \begin{array}{l}\;\frac{\displaystyle dy^2}{dx}\;\;=\;\;\frac{\displaystyle d(2xy)}{dx}\;\;\;+\;\frac{\displaystyle dx^2}{dx}\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
- \begin{array}{l}\frac{\displaystyle\;dy^{2\;}}{dy}\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;=\;\;2x\frac{\displaystyle dy\;}{dx}\;\;+\;y2\;\;+\;2x\\;\;\;\;\;\;2y\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;=\;\;2x\frac{\displaystyle dy\;}{dx}\;\;+\;y2\;\;+\;2x\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{y-x}\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
උදාහරණ :
X විෂයෙන් අවකලනය කරන්න.
1. y3 + x2 = 2x2y + 4
\begin{array}{l}\;\;3y^2\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;+\;2x\;\;\;=\;\;2x^2\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;+\;y4x\;+\;0\\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;(\;3y^2\;–\;2x^2)\;\;=\;\;\;4xy\;–\;2x\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;\;\;\frac{\displaystyle2x\;(2y\;–\;1\;)}{(\;3y^2\;–\;2x^2)}\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
2. y = sin x2y + 5
\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle dy\;}{dx}=\;\;\;\cos\;x^2y\;(\;2xy\;+\;x^2\frac{\displaystyle dy}{dx}\;)\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;=\;\;(\;\cos\;x^2y)\;(\;2xy\;)\;+\;x^2\;\cos x^2y\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;)\\;\lbrack1–\;x^2\cos x^2y\rbrack\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;\;(\;\cos\;x^2y)\;(\;2xy\;)\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;\;\;\frac{\displaystyle2xy\;\;\cos\;x^2y}{\;\lbrack1–\;x^2\cos x^2y\rbrack}\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
ශ්‍රිතයක බලයක් ලෙස ඇති ශ්‍රිතයක් අවකලනය
- y = (tanx)x
lny = ln (tanx)x
lny = x ln (tanx)
\begin{array}{l}\frac{\displaystyle\;1\;}y\;\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;\;\frac{\displaystyle x\;sec^2x}{\tan{\displaystyle x}}+\;\ln(\tan x)\;\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;y\;\frac{\displaystyle x\;sec^2x}{\tan{\displaystyle x}}+\;y\ln(\tan x)\;\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=\;\frac{\displaystyle yx\;}{\sin{\displaystyle x}{\displaystyle\;}{\displaystyle\cos}{\displaystyle x}}+\;y\ln(\tan x)\;\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=y\left[\;2x\;\cos ec2x+\;\ln(\tan x)\;\right]\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=(\tan x)^x\left[\;2x\;\cos ec2x+\;\ln(\tan x)\;\right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}2. y = xsinx
lny = ln xsinx
lny = sinx ln x
\begin{array}{l}\;\frac{\displaystyle1}y\;\;\;\frac{\displaystyle dy\;}{dx}=\;\sin x\;\;\frac{\displaystyle1\;}x+\;\ln x\cos x\;\\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle dy\;}{dx}=y\left[\;\sin x\;\;\frac{\displaystyle1\;}x+\;\ln x\cos x\right]\;\\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle dy\;}{dx}=\;x^{\sin x}\left[\;\sin x\;\;\frac{\displaystyle1\;}x+\;\ln x\cos x\right]\;\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}9^{10} හා 10^9 සංඛ්‍යා දෙකෙන් වඩා විශාල සංඛ්‍යාව කුමක්ද? අගයන් ගණන කිරීමෙන් තොරව කලනය පිළිබද දැනුම භාවිතයෙන් පිළිතුර සෙවීමට ඔබටත් පුළුවන්ද?
පරාමිතිකව දී ඇති ශ්‍රිතයක් අවකලනය
- මෙහිදී වක්‍රයක් පරාමිතිකව ලබාදෙන අතර එවැනි ශ්‍රිතයක අවකලන සංගුණකය ලබාගැනීමට දාම නීතිය උපයෝගී කර ගනී.
x = a cosø y = a sinø
\begin{array}{l}\;\frac{\displaystyle dx}{\;dø\;}\;=\;‒\;a\;\sin ø\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;\;dy}{\;dø\;}\;=\;a\;\cos ø\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{\;dø\;}\;\;\times\frac{\displaystyle\;\;dø\;}{dx}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;a\;\cos ø\;\times\frac1{‒\;a\;\sin ø}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;‒\;cotø\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}උදාහරණ :
1. x = at2 y = 2at
\begin{array}{l}\;\frac{\displaystyle dx}{\;dt\;}\;=\;2at\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;\;dy}{\;dt\;}\;=2a\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{\;dt\;}\;\;\times\frac{\displaystyle\;\;dt\;}{dx}\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\;\;\;2a\;\times\;\frac1{2at}\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\frac1t\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}2. x = 2a + sin 2ø y = cos 2ø
\begin{array}{l}\;\frac{\displaystyle dx}{\;dø\;}\;=\;\;\;2\;+\;2\cos\;2ø\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;\;dy}{\;dø\;}\;=\;‒2\;\sin\;2ø\\\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;=\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{\;dø\;}\;\;\times\frac{\displaystyle\;\;dø\;}{dx}\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;-\;2\;\sin\;2ø\;\times\frac1{\;2\;(\;1\;+\;\cos\;2ø\;)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\frac{\displaystyle‒\;\sin\;2ø}{(\;1\;+\;\cos\;2ø\;)}\\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;\;\frac{\displaystyle‒\;\sin\;2ø}{(\;1\;+\;2\;\cos2ø\;–\;1\;)}\\;\;\;\;\;\;\;\;=\;‒\;\tan ø\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}අනුයාත අවකලනය
- දී ඇති ශ්‍රිතයක් අනුයාත ලෙස නැවත නැවත අවකලනය කිරීමට මඟින් අනුයාත අවකලනය සිදු කරයි. මෙහිදී ලැබෙන ව්‍යුත්පන්න පළමු,දෙවන ,තෙවන ලෙස නම් කරයි.
y යනු x හි ශ්‍රිතයක් විට ඉහත ව්‍යුත්පන්න,
\begin{array}{l}\frac{\displaystyle dy}{dx}\;\;,\;\;\frac{\displaystyle d^2y}{d^2x}\;\;,\;\;\;\frac{\displaystyle d^3y}{d^3x}\dots\dots.\\;\;\;\;\;\;\;\\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
ආදී වශයෙන් අංකනය කරයි.
උදාහරණ :
1. y = x5 + 3x4 + 2x – 1 හි අනුයාත අවකලන සළකමු. පළමු,දෙවන ,තෙවන අවකලන සොයන්න.
\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle dy}{dx}\;=5x^4\;+\;12x^3\;+\;2\;\\;\;\;\frac{\displaystyle d}{dx\;}\;\left(\frac{\displaystyle dy}{dx}\right)=\frac{\displaystyle d}{dx}\left(5x^4\;+\;12x^3\;+\;2\;\right)\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle d^2y}{d^2x\;}\;=\;20x^3\;+\;36x^2\;\;\\\frac{\displaystyle d}{dx\;}\left(\frac{\displaystyle d^2y}{d^2x\;}\right)=\frac{\displaystyle d}{dx}\left(\;20x^3\;+\;36x^2\;\;\right)\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle d^3y}{d^3x\;}=\;60x^2\;+\;72x\;\\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}- y = x3 + 2x2 + 3x – 1 හි අනුයාත අවකලන සළකමු. පළමු,දෙවන ,තෙවන අවකලන සොයන්න.
අවකල සමීකරණ
- අවකලන සංගුණක අඩංගු සමීකරණ වේ. මෙවැනි අවකල සමීකරණ ගොඩනැඟීම මෙම කොටස තුළ සිදු කරයි.
උදාහරණ :
- y=sin x නම් x\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}+y=\cos x බව පෙන්වන්න.
තවද x\frac{\operatorname d^2y}{\operatorname dx^2}+2\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+xy=0 බවද පෙන්වන්න
\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;\;=\;\frac{\displaystyle\;x\;\cos x\;–\;\sin x}{\;\;x^{2\;}}\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;\;=x\;\cos x\;–\;\sin x\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;\;=\;\cos x\;–\;\frac{\displaystyle\sin x}x\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;+\frac{\displaystyle\sin x}x\;=\;\cos x\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;+y\;=\;\cos x\\;x\frac{\displaystyle\;d^2y}{d^2x}\;+\;\frac{\displaystyle dy\;}{dx}+\frac{\displaystyle\;dy}{dx}\;=\;‒\;\sin x\\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\frac{\displaystyle\;d^2y}{d^2x}\;+\;2\frac{\displaystyle dy\;}{dx}\;=\;‒\;\sin x\\\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}
2. f(x) = sin ( 2sin-1x )
( 1 – x2 ) f//(x) – x f/(x) + 4 f/(x) = 0 බවද පෙන්වන්න
\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;dy\;}{dx}\;\;=\;\;\;\;e^{\sin^{-1}x}\;\frac1{\surd(1\;–\;x^2)}\;\;\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle\;dy\;}{dx}\;\;=\;\;\;\;\frac y{\surd(1\;–\;x^2)}\;\;\;\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^/(x)\;=\;\cos\;(\;2\sin^{-1}x\;)\;\;\;\;\;\frac{\displaystyle2}{\surd(1\;–\;x^2)}\\;\surd(1\;–\;x^2)\;f^/(x)\;=2\;\cos\;(\;2\sin^{-1}x\;)\;\\surd(1\;–\;x^2)\;f^{//}(x)\;‒\frac{\displaystyle\;f^/(x)\;\;\;\;\;2x\;}{\;2\surd(1\;–\;x^2)\;}\;\;\;\;=\;‒\;2\cos\;(\;2\sin^{-1}x\;)\;2\;\;\frac{\displaystyle\;\;1\;\;}{\surd(1\;–\;x^2)}\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1\;–\;x^2)\;f^{//}(x)\;‒\;xf^/(x)\;\;=\;‒\;4\;f^/(x)\\;\;\;\;(1–\;x^2)\;f^{//}(x)\;‒\;xf^/(x)\;+\;4\;f^/(x)\;=\;0\\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\\\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\end{array}3. y=e^xනම්,
\begin{array}{l}(1-x^2)\;\frac{\displaystyle d^2y}{dx^2}-x\frac{\displaystyle\;dy}{dx}-\;y\end{array}=0 බව පෙන්වන්න.
\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{\displaystyle dy}{dx}=e^x\frac1{\sqrt{(1–x^2)}}\;\;\;\\\frac{\displaystyle dy}{dx}=\frac y{\sqrt{(1–x^2)}}\;\;\;\\\frac1y\frac{\displaystyle dy}{dx}=\frac1{\sqrt{(1–x^2)}}\\\frac{\displaystyle(1–x^2)\frac{\displaystyle d^2y}{dx^2}-x\frac{\displaystyle dy}{dx}}{\sqrt{(1–x^2)}}=\frac{\displaystyle dy}{dx}\end{array}\\(1–x^2)\frac{\displaystyle d^2y}{dx^2}-x\frac{\displaystyle dy}{dx}=\frac{\displaystyle dy}{dx}\sqrt{(1–x^2)}\\(1–x^2)\frac{\displaystyle d^2y}{dx^2}-x\frac{\displaystyle dy}{dx}=\;e^x\\(1–x^2)\frac{\displaystyle d^2y}{dx^2}-x\frac{\displaystyle dy}{dx}=y\\\end{array}
“Calculus works by making visible the infinitesimally small.”
-Keith Devlin-
