01.06.00 – ද්විත්ව, ත්‍රිත්ව සහ භාග කෝණ සූත්‍ර

සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ(කෙටි ප්‍රශ්න) 10 වැනි ගැටළුවෙහි හා B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න)  17 ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර

• sin 2A = 2 sin A cos A
• cos 2A = cos² A – sin² A
• cos 2A = 2 cos² A – 1
• cos 2A = 1 – 2 sin² A
• \text{tan 2A =}\frac{2\;tan\;A}{1-tan^2A}

ද්විත්ව කෝණ සූත්‍ර ගොඩනැගුනු අයුරු

1. \begin{array}{rcl}\sin\;2A\;&=&\;2\;\sin\;A\;\cos\;A\\\sin\;(A\;+\;B)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B\\\sin\;(A\;+\;A)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;A\;+\;\cos\;A\;\sin\;A\\\sin\;2A\;&=&\;2\;\sin\;A\;\cos\;A\end{array}

2. \begin{array}{rcl}\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;\sin^2A\\\cos\;(A\;+\;B)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;–\;\sin\;A\;\sin\;B\\\cos\;(A\;+\;A)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;A\;–\;\sin\;A\;\sin\;A\\\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;\sin^2A\end{array}

3. \begin{array}{rcl}\cos\;2A\;&=&\;2\;\cos^2A\;–\;1\\\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;\sin^2A\\\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;(1\;–\;\cos^2A)\\\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;1\;+\;\cos^2A\\\cos\;2A\;&=&\;2\;\cos^2A\;–\;1\;\end{array}

4. \begin{array}{rcl}\cos\;2A\;&=&\;1\;–\;2\;\sin^2A\\\cos\;2A\;&=&\;\cos^2A\;–\;\sin^2A\\\cos\;2A\;&=&\;(1\;–\;\sin^2A)\;–\;\sin^2\;A\\\cos\;2A\;&=&\;1\;–\;2\;\sin^2A\end{array}

5. \begin{array}{rcl}\tan\;2A\;&=&\;\frac{2\;\tan A}{1\;–\;\tan^2A}\\[4px]\tan\;(A\;+\;B)\;&=&\;\frac{\tan\;A\;+\;\tan\;B}{1\;–\;\tan\;A\;\tan\;B}\\[4px]\tan\;(A\;+\;A)\;&=&\;\frac{\tan\;A\;+\;\tan\;A}{1\;–\;\tan\;A\;\tan\;A}\\[4px]\tan\;2A&=&\;\frac{2\;\tan\;A}{1\;–\;\tan^2A}\end{array}

උදා:

1. 4 ( cos⁶ A – sin⁶ A ) = 3 cos 2A + cos³ 2A

\begin{array}{rcl}R.H.S.\;&=&\;3\;\cos\;2A\;+\;\cos^32A\\&=&\;3\;(\;\cos^2A\;–\;\sin^2A)\;+\;(\;\cos^2A\;–\;\sin^2A)^3\\&=&\;3\;\cos^2A\;–\;3\;\sin^2A\;+\;\cos^6A\;–\;3\;\cos^4A\;\sin^2A\;+\;3\;\cos^2A\;\sin^4A\;–\;\sin^6A\\&=&\;3\;\cos^2A\;–\;3\;\sin^2A\;+\;\cos^6A\;–\;3\;\cos^4A\;(1\;–\;\cos^2A)\;+\;3\;\sin^4A\;(1\;–\;\sin^2A)\;–\;\sin^6A\\&=&\;3\;(\cos^2A\;–\;\sin^2A)\;–\;3\;(\cos^2A\;–\;\sin^2A)(\;\cos^2A\;+\;\sin^2A)\;+\;4\;(\;\cos^6A\;–\;\sin^6A\;)\\&=&\;3\;(\cos^2A\;–\;\sin^2A)\;(1\;-\;1)\;+\;4\;(\;\cos^6A\;–\;\sin^6A\;)\\&=&\;4\;(\;\cos^6A\;–\;\sin^6A\;)\\&=&\;L.H.S.\end{array}

2. tan A = ¾ සහ A සුළු කෝණයක් නම්, tan 2A , tan 4A සොයන්න.

\begin{array}{rcl}\tan\;2A\;&=&\frac{2\;\tan\;A}{\;1\;–\;\tan^2A}\\[4px]\;&=&\;\frac{2\;\times\;\frac34}{1\;-\;\frac9{16}}\\[4px]\;&=&\;\frac32\;\times\;\frac{16}7\\[4px]\;&=&\;\frac{24}7\\[8px]\tan\;4A\;&=&\frac{2\;\tan\;2A}{\;1\;–\;\tan^2\;2A}\\[4px]\;&=&\;2\left(\frac{24}7\right)\times\left(-\frac{49}{527}\right)\\[4px]\;&=&\;-\frac{336}{527}\end{array}

3. \begin{array}{rcl}\sin\;2A&=&\frac{2\;\tan\;A}{1+\tan^2A}\end{array}

\begin{array}{rcl}R.H.S\;&=&\;\frac{2\;\tan\;A}{1+\tan^2A}\\[4px]&=&\;\frac{2\;\left({\frac{\sin\;A}{\cos\;A}}\right)}{\left[1+\left({\frac{\sin^2A}{\cos^2A}}\right)\right]}\\[4px]&=&\;2\;\left(\frac{\sin\;A}{\cos\;A}\right)\times\cos^2A\\[4px]&=&\;2\;\sin A\cos A\\&=&\;L.H.S\end{array}

4. \begin{array}{rcl}\cos\;2A&=&\frac{\left(1-\tan^2A\right)}{\left(1+\tan^2A\right)}\end{array}

\begin{array}{rcl}R.H.S\;&=&\frac{\;\left(1-\tan^2A\right)}{\left(1+\tan^2A\right)}\\[4px]&=&\frac{\left[1-{\frac{\sin^2A}{\cos^2A}}\right]}{\left[1+{\frac{\sin^2A}{\cos^2A}}\right]}\\[8px]&=&\;\cos^2A-\sin^2A\\&=&\;\cos\;2A\\&=&\;L.H.S\end{array}

ත්‍රිත්ව කෝණ සූත්‍ර

\begin{array}{rcl}\sin\;3A\;&=&\;3\;\sin\;A\;-\;4\;\sin^3\;A\\\cos\;3A\;&=&\;4\;\cos^3A\;-\;3\;\cos\;A\\\tan\;3A\;&=&\;\frac{3\tan\;A\;–\;tan^3A}{1\;–\;3\;\tan^2A}\end{array}

ත්‍රිත්ව කෝණ සූත්‍ර ගොඩනැගුනු අයුරු

1. sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A

\begin{array}{rcl}\sin\;\left(A\;+\;B\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;B\;+\;\cos\;A\;\sin\;B\\\sin\;\left(A\;+\;2A\right)\;&=&\;\sin\;A\;\cos\;2A\;+\;\cos\;A\;\sin\;2A\\\sin\;3A\;&=&\;\sin\;A\;(1\;–\;2\;\sin^2A)\;+\;\cos\;A\;\cdot\;2\;\sin\;A\;\cos\;A\\&=&\;\sin\;A\;–\;2\;\sin^3A\;+\;2\;\sin\;A\;(\;1\;–\;\sin^2A\;)\\&=&\;\sin\;A\;–\;2\;\sin^3A\;+\;2\;\sin\;A\;–\;2\;\sin^3A\\&=&\;3\;\sin\;A\;–\;4\;\sin^3A\end{array}

2. cos 3A = 4 cos³ A – 3 cos A

\begin{array}{rcl}\cos\;\left(A\;+\;B\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;B\;+\;\sin\;A\;\sin\;B\\\cos\;\left(A\;+\;2A\right)\;&=&\;\cos\;A\;\cos\;2A\;+\;\sin\;A\;\sin\;2A\\\cos\;3A\;&=&\;\cos\;A\;(2\;\cos^2A\;-\;1)\;+\;\sin\;A\;\cdot\;2\;\sin\;A\;\cos\;A\\&=&\;2\;\cos^3A\;-\;\cos\;A\;+\;2\;\cos\;A\;(\;1\;–\;\cos^2A\;)\\&=&\;2\;\cos^3A\;-\;\cos\;A\;–\;2\;\cos\;A\;+\;2\;\cos^3A\\&=&\;4\;\cos^3A\;-\;3\;\cos\;A\;\end{array}

3. \tan\;3A\;=\;\frac{3\;\tan\;A-\tan^3A}{1\;–\;3\;\tan^2A}

\begin{array}{rcl}\tan\;(A+B)&=&\frac{\left(\tan\;A\;+\;\tan\;B\right)}{\left(1\;-\;\tan\;A\;\tan\;B\right)}\\[4px]\tan\;(A+2A)&=&\frac{(\tan\;A\;+\;\tan\;2A)}{\left(1\;-\;\tan\;A\;\tan2A\right)}\\[4px]\tan\;3A&=&\frac{\left[\frac{\tan\;A+2\;\tan\;A}{\left(1-\tan^2A\right)}\right]}{\left[{\displaystyle\frac{1-\tan\;A\;\tan\;2A}{\left(1-\tan^2A\right)}}\right]}\\[4px]&=&\frac{\left[\tan\;A-\tan^3A+2\;\tan\;A\right]}{\left[1-\tan^2A-2\;\tan^{3\;}A\right]}\\[4px]&=&\frac{\left(3\;\tan\;A-\tan^3A\right)}{\left(1-3\;\tan^3A\right)}\end{array}

උදාහරණ ගැටළු

1. cos 6A= 32 cos⁶ A – 48 cos⁴ A + 18 cos² A – 1

2. tan 3A tan 2A tan A = tan 3A – tan 2A – tan A

\begin{array}{rcl}\tan\;3A&=&\frac{\left(\tan\;A\;+\;\tan\;2A\right)}{\left(1-\tan\;A\;\tan\;2A\right)}\\[4px]\tan\;3A\;\left(\;1\;–\;\tan\;A\;\tan\;2A\;\right)\;&=&\;\tan\;A\;+\;\tan\;2A\\\tan\;3A\;–\;\tan\;A\;\tan\;2A\;\tan\;3A\;&=&\;\tan\;A\;+\;\tan\;2A\\\tan\;3A\;\tan\;2A\;\tan\;A\;&=&\;\tan\;3A\;–\;\tan\;2A\;–\;\tan\;A\end{array}

අර්ධ කෝණ සූත්‍ර

\begin{array}{l}\sin\;A=\frac{2\;\tan(A/2)}{\left[1+\tan^2(A/2)\right]}\\\\\cos\;A=\frac{\left[1-\;\tan^2(A/2)\right]}{\left[1+\tan^2(A/2)\right]}\\\\\tan\;A\;=\frac{2\;\tan\;(A/2)}{\left[1-\tan^2(A/2)\right]}\end{array}

1 – cos A = 2 sin² (A/2)

1 + cos A = 2 cos² (A/2)

t = tan (A/2) ආදේශය භාවිතයෙන් ගණිත ගැටළු විසදීම වඩාත් පහසු ක්‍රමවේදයකි.

\begin{array}{rcl}\sin\;A\;&=&\frac{2t}{(1+t^2)}\\[4px]\cos\;A\;&=&\frac{\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)}\\[4px]\tan\;A\;&=&\;\frac{2t}{\left(1-t^2\right)}\end{array}

උදා:

1. 0⁰ හා 360⁰ අතර කෝණ සදහා sin A + 2 cos A = 1 සමීකරණය විසදන්න.

                                \begin{array}{rcl}\sin\;A\;+\;2\;\cos\;A\;&=&\;1\\\frac{2t}{\left(1+t^2\right)}+\frac{2\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)}\;&=&\;1\;;\;\;\;\;\;\;\;\text{මෙහි}\;t\;=\;\tan\;\frac A2\text{වේ.}\\[4px]2\;t\;+\;2\;–\;2\;t^2\;&=&\;1\;+\;t^2\\3\;t^2\;–\;2\;t\;–\;1\;&=&\;0\\\left(\;3t\;+\;1\;\right)\left(\;t\;-\;1\;\right)\;&=&\;0\end{array}

\begin{array}{rcl}3t\;+\;1\;=\;0\;&\text{හෝ}&\;t\;–\;1\;=\;0\\t\;=\;-\;\frac13\;&\text{හෝ}&\;t\;=\;1\\[4px]\tan\;\frac A2\;=\;-\frac13\;&\text{හෝ}&\;\;\tan\;\frac A2\;=\;1\\[4px]\frac A2\;=\;\tan^{-1}\left(-\frac13\right)\;&\text{හෝ}&\frac A2\text{ = }\tan^{-1}\left(1\right)\end{array}

පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න පත්‍රවල ගැටලු විසඳීම

2013 A/L – Part A

2013 AL – Part B

2019 AL – Part A

2019 AL – Part B

Video links

“Mathematics is the Queen of the Sciences.”
-Carl Friedrich Gauss-