01.07.00 – සාධාරණ විසඳුම්

• සංයුක්ත ගණිත I (ශුද්ධ ගණිත ) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ (කෙටි ප්‍රශ්න ) 10 වැනි ගැටලුවේ හා B කොටසේ(රචනා ප්‍රශ්න ) 17 ගැටලුවේ අඩංගු සිද්ධාන්ත මෙම පාඩම අඩංගු සිද්ධාන්ත වේ.

• ඕනම ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණයක් විසදීමට මුලික වන ප්‍රදාන ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ තුනක් පවතී.ඒවා නම් ,
  Sinθ = k , Cosθ = k, Tanθ = k වේ.

• පළමුව මෙම ප්‍රධාන සමීකරණ වල විසදුම් හඳුනා ගෙන ඉන්පසු දෙන ලද ඕනෑම සමීකරණයක් ඉහත ආකාර තුනෙන් එකකට හෝ කිහපයකට හරවා විසඳනු ලැබේ.

sin θ සදහා θ හි ප්‍රධාන පරාසය 

∴ sin θ සදහා θ හි ප්‍රධාන පරාසය,

 

-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2

cos θ සදහා θ හි ප්‍රධාන පරාසය 

∴ cos θ සදහා θ හි ප්‍රධාන පරාසය,

0 ≤ θ ≤ π

tan θ සදහා හි θ ප්‍රධාන පරාසය

∴ tan θ සදහා θ හි ප්‍රධාන පරාසය,

-\frac\pi2\leq\theta\leq\frac\pi2

එකම සයිනයක් ඇති සෑම කෝණයක් සදහාම පොදු ප්‍රකාශනය 

                        sinθ = k විට θ සෙවීම ( -1 ≤ k ≤ 1 )

                        sin = sin α ( -\frac\pi2\leq\alpha\leq\frac\pi2 )

                         \theta=\;n\mathrm\pi\;+(-1)^{\mathrm n}\mathrm\alpha       [ n ∈ z ]

උදා : (01.) විසදුම් සොයන්න.

i. \sin\;x=\frac1{\sqrt2}\\\sin\;x=\sin\;\frac{\mathrm\pi}4\\x=\;n\mathrm\pi\;+\;(-1)^{\mathrm n}\frac{\mathrm\pi}4

\\\sin\;x=\sin\;\frac{\mathrm\pi}4

x=\;n\mathrm\pi\;+\;(-1)^{\mathrm n}\frac{\mathrm\pi}4        [ n ∈ z ]

ii. \sin\left(3x\right)=\frac{\sqrt3}2

\sin\left(3x\right)=\frac{\sqrt3}2 \sin\left(3x\right)=\frac{\sqrt3}2 3x=n\pi+(-1)^n\frac\pi3

x=\frac13n\pi+(-1)^n\frac\pi9 [ n ∈ z ]

iii. \sin\frac{\mathrm x}4=1

\sin\frac{\mathrm x}4=\sin\frac{\displaystyle\mathrm\pi}{\displaystyle2}

 

\frac x4=n\mathrm\pi\;+\;(-1)\frac{\displaystyle\mathrm\pi}2

              x=4n\mathrm\pi\;+\;(-1)2\mathrm\pi           [ n ∈ z ]

  iv.\begin{array}{l}\sin\frac x2=\;-\frac12\\\end{array}

\begin{array}{l}\sin\frac x2=\;\sin\left(-\frac{\mathrm\pi}6\right)\\\end{array} \begin{array}{l}\frac x2=n\mathrm\pi\;+\left(-1\right)^{\mathrm n}\left(-\frac{\mathrm\pi}6\right)\\\end{array}

              \begin{array}{l}x=2n\mathrm\pi\;+\left(-1\right)^{\mathrm n}\left(-\frac{\mathrm\pi}3\right)\\\end{array}       [ n ∈ z ]

v.\begin{array}{l}\sin\frac{3\mathrm x}2=-\frac1{\sqrt2}\\\end{array}

\begin{array}{l}\sin\frac{3\mathrm x}2=\sin\left(-\frac{\mathrm\pi}4\right)\\\end{array}

 

\frac{3x}2=n\mathrm\pi+\left(-1\right)^{\mathrm n}(-\frac{\mathrm\pi}4)

              x=\frac{\displaystyle2\mathrm{nπ}}3+\left(-1\right)^{\mathrm n}(-\frac{\mathrm\pi}6)         [ n ∈ z ]

    vi.         sin x = 2/5 

                 sin x = sin α                   [α = \sin^{-1} ( 2/5 ) ]

                 \mathrm x=\;\mathrm{nπ}\;+(-1)^{\mathrm n}\mathrm\alpha      [ n ∈ z , α = \sin^{-1} ( 2/5 )]

එකම කෝසයිනයක් ඇති සෑම කෝණයක් සදහාම පොදු ප්‍රකාශනය 

                       cos θ = k විට θ සෙවීම ( -1 ≤ k ≤ 1 )

                        cos θ = cos α ( 0 ≤ α ≤ π )

                        θ =2nπ ± α       [ n ∈ z ]

 

උදා : (01.) විසදුම් සොයන්න.

1. cos x = ½

            cos x = cos π/3

            θ =2nπ ± π/3      [ n ∈ z ]

 

2. cos 3x = \frac1{\sqrt2}

cos 3x = cos π/4

            3x = 2nπ ± π/4      

            x = 2nπ/3 ± π/12      [ n ∈ z ]

3. cos x/4 = -\frac{\sqrt3}2

            cos x/4 = cos 5π/6

            x/4 = 2nπ±5π/6

            x = 8nπ±10π/3           [ n ∈ z ]

 

4. cos 3x = -1/2

cos 3x = cos 2π/3

3x = 2nπ ± 2π/3

x = 2nπ/3 ± 2π/9      [ n ∈ z ]

5. cos 4x/3 = -\frac1{\sqrt2}

cos 4x/3 = cos 3π/4

4x/3 = 2nπ ± 3π/4

x = 3nπ/2 ± 9π/16      [ n ∈ z ]

එකම ටැංජනයක් ඇති සෑම කෝණයක් සදහාම පොදු ප්‍රකාශනය 

 

                       tan θ = k විට θ සෙවීම ( -∞ ≤ k ≤ ∞ )

                        tan = tan α ( – π/2 < α < π/2 )

                        θ =nπ + α       [ n ∈ z ]

උදා : (01.) විසදුම් සොයන්න.

1. tan x = \frac1{\sqrt3}

tan x = tan π/6

x = nπ + π/6                 [ n ∈ z ]

2. tan 2x = 1

tan 2x = tan π/4

2x =nπ + π/4 

 x = nπ/2 + π/8             [ n ∈ z ]

3. tan x = -\sqrt3

tan x = tan ( – π/3 )

x = nπ –  π/3                 [ n ∈ z ]

දෙන ලද පරාසයක් තුල විසදුම් සෙවීම 

1. sin 3x = 0 වන x සදහා අගයන් 0 ත් 2π ත් අතර සොයන්න.

                              sin 3x = 0                              

                  sin 3x = sin 0    

                   3x = nπ + (-1)^n. 0

 3x = nπ

x = nπ/3    [ n ∈ z ]

n = 1 \rightarrow   x = π/3        

n = 5 \rightarrow   x = 5π/3                                                                

                   n = 2 \rightarrow  x = 2π/3                                

                 n = 3 \rightarrow  x =π

                  n = 4    x = 4π/3                                                  

2. cos 3x = -\frac{\sqrt3}2  වන  x සදහා අගයන් 0 < x < 2π පරාසය තුල සොයන්න.

                        cos 3x = cos 5π/6

                        3x = 2nπ ± 5π/6

                        x = 2nπ/3 ± 5π/18            [ n ∈ z ]                                  

                              x = 2nπ/3 + 5π/18              හෝ                 x = 2nπ/3 – 5π/18            

                  x=\frac{12n\mathrm\pi+5\mathrm\pi}{18}                             හෝ                 x=\frac{12n\mathrm\pi+5\mathrm\pi}{18}

                     n = 0   x = 5π/18                                                  n = 1 → x= 7π/18

                     n = 1 → x= 17π/18                                               n = 2 → x= 19π/18

                     n = 2 → x= 29π/18                                               n = 3 → x= 31π/18

උදා : (01.) පහත දැක්වෙන ගැටළු විසදන්න.

1. cos 2x – cos x = 0

• I  ක්‍රමය

                        cos 2x – cos x = 0

                  cos 2x = cos x 

                        2x = 2nπ ± x           [ n ∈ z ]                                  

                        x = 2nπ                      හෝ                 3x = 2nπ

                        [ n ∈ z ]                                             x = 2nπ/3          [ n ∈ z ]            

• II  ක්‍රමය

            cos 2x – cos x = 0

            2 sin 3x/2 . sin (-x/2) = 0

            -sin 3x/2 . sin x/2 = 0

            sin 3x/2 . sin x/2 = 0

            sin 3x/2 = 0                හෝ                     sin x/2 = 0

                        sin 3x/2 = sin 0                                      sin x/2 = sin 0

                        3x/2 = nπ                                               x/2 = nπ   

                        x = 2nπ/3                                               x = 2nπ  

                        [ n ∈ z ]                                                  [ n ∈ z ]  

2. cos 3x = sin 2x

• cos 3x = sin 2x

cos 3x = cos [ \frac{\mathrm\pi}2 – 2x ]

3x = 2nπ ± [ \frac{\mathrm\pi}2 – 2x ]

5x = 2nπ + \frac{\mathrm\pi}2                     හෝ                x = 2nπ – \frac{\mathrm\pi}2                     

x = 2nπ/5 + \frac{\mathrm\pi}{10}                                        [ n ∈ z ]                                                  

                        [ n ∈ z ]                                                  

3. 2 cos x + sin x – sin 2x = 1

• 2 cos x + sin x – sin 2x = 1

2 cos x + sin x – 2 sin x cos x – 1 = 0

[ 2 cos x – 1 ] [ 1 – sinx ] = 0

2 cos x – 1 = 0                 හෝ                    1 – sin x = 0

cos x = ½                                                    sin x = 1

cos x = cos π/3                                          sin x = sin π/2

x = 2nπ ± π/3                                          x = nπ +( – 1 )n π/2

            [ n ∈ z ]                                                       [ n ∈ z ]                                                  

 

a cos x + b sin x = c ආකාරයේ සමීකරණයක විසදුම් 

පළමු ක්‍රමය

මෙහිදී ,

       \sqrt{(\;\sin\;\mathrm x\;\mathrm{හි}\;\mathrm{සංගුනකයේ}\;)^2\;\;+\;(\;\cos\;\mathrm x\;\mathrm{හි}\;\mathrm{සංගුනකයේ}\;)^2}      න් සෑම පදයක්ම බෙදා \sqrt{\;\mathrm a^2\;+\;\mathrm b^2\;}

ආකලන සූත්‍රද භාවිතා කරමින් සාධාරන විසදුම් සොයනු ලැබේ.

උදා : (01.) \sqrt3cosx+sinx=2  විසදන්න.

                                 \sqrt3cosx+sinx=2 

                                 \frac{\displaystyle\sqrt3}2 cos x + \frac{\displaystyle1}2 sin x = 1

                                 cos x cos π/6 + sin x sin π/6 = 1

                                 cos [ x – π/6 ] = 1

                                 cos [ x – π/6 ] = cos 0

                                 x – π/6 = 2nπ

                                 x = 2nπ + π/6                   [ n ∈ z ]                                                  

උදා : (02.) cos x – \sqrt3 sin x = 1 විසදන්න.

                                 cos x – \sqrt3 sin x = 1

                                 \frac12 cos x – \frac{\sqrt3}2

sin x = \frac12

                                 cos x cos π/3 – sin x sin π/3 = \frac12 

                                 cos [ x + π/3 ] = cos π/3

                                 x +  π/3  = 2nπ ± π/3

                                 x = 2nπ                 හෝ              x = 2n –   2π/3              

                                 [ n ∈ z ]                                     [ n ∈ z ]                                                  

උදා : (03.) f (x) = sin⁶ x + cos⁶ x යයි ගනිමු. A + B cos kx ආකාරයෙන් f (x) ප්‍රකාශ කරන්න. A , B හා k

                 නිර්ණය කල යුතු නියත වේ.

                 එනයින්  4 [ sin⁶ x + cos⁶ x ] – 2 sin 4x – 5 = 0 විසදන්න.

                             f (x) = sin⁶ x + cos⁶ x

                                     = [ sin²  x + cos² x ] [ sin⁴ x – sin² x cos² x + cos⁴ x ]

                                     = [ sin²  x + cos² x ]² – 3 sin² x cos² x

                                     = 1 – \frac34 sin² 2x

                                     = 1 –  \frac34\;\frac{\left[1-\;\cos\;4x\right]}2

                                     = \frac58 + \frac38 cos 4x

                             A =  \frac58 , B =  \frac38 , k = 4

                            4 [ sin⁶ x + cos⁶ x ] – 2 sin 4x – 5 = 0

                            4 [ \frac58 + \frac38 cos 4x ] – 2 sin 4x – 5 = 0

                            \frac32 cos 4x – 2 sin 4x – \frac52 = 0

                          3 cos 4x – 4 sin 4x – 5 = 0

                          \frac35 cos 4x – \frac45 sin 4x = 1

                          cos 4x cos α – sin 4x sin α = 1                 [ α = cos^-1 \frac35]

                          cos [ 4x + α ] = cos 0

                          4x + α = 2nπ

                          x = \frac{n\mathrm\pi}2+\frac\alpha4                        [ n ∈ z  , α = cos ^-1 \frac35 ]                                         

උදා: (4)

පහත සමීකරණය විසඳන්න.

දෙවන ක්‍රමය   

පසුගිය විභාග ගැටලුවක් සලකා බලමු.

2017Al (17)ගැටලුව ,b කොටස  

Cos 4x+ Sin 4x= Cos 2x + Sin 2x බව පෙන්වන්න.

Video links

“Mathematics is the science which uses easy words for hard ideas.”
-Edaward Kasner-