U හා V යනු x හි x විෂයෙන් අවකලනය කල හැකි ශ්‍රිත දෙකක් වන විට,
\frac{\operatorname d(UV)}{\operatorname dx}=U\frac{\operatorname dV}{\operatorname dx}+V\frac{\operatorname dU}{\operatorname dx}
U\frac{\operatorname dV}{\operatorname dx}=\frac{\operatorname d(UV)}{\operatorname dx}-V\frac{\operatorname dU}{\operatorname dx}
\int U\frac{\operatorname dV}{\operatorname dx}dx=\int\frac{\operatorname d(UV)}{\operatorname dx}dx-\int V\frac{\operatorname dU}{\operatorname dx}Udx
\int U\frac{\operatorname dV}{\operatorname dx}dx=UV-\int V\frac{\operatorname dU}{\operatorname dx}dx
- ඉහත දක්වා ඇති කොටස් වශයෙන් දක්වන සූත්‍රයේ වම්පසට අනුකූල වන පරිදි මෙම ගැටලුව පහත දැක්වෙන පරිදි ක්‍රම දෙකකට සකස් කල හැකිය.
ʃ (පළමු ශ්‍රිතය)(දෙවන ශ්‍රිතය)dx = ʃ (දෙවන ශ්‍රිතය)(පළමු ශ්‍රිතයෙ අනුකලනයෙහි අවකලනය)dx
ʃ (පළමු ශ්‍රිතය)(දෙවන ශ්‍රිතය)dx = ʃ (පළමු ශ්‍රිතය)(දෙවන ශ්‍රිතයෙ අනුකලනයෙහි අවකලනය)dx
නිදසුන 01
- ʃ xex dx හි ඉහත ආකෘතියට අනුව සකස් කල විට,
\int xe^xdx=\int x\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx
ලෙස හෝ
\int xe^xdx=\int e^x\frac{\operatorname d({\displaystyle\frac{x^2}2})}{\operatorname dx}dxලෙස වේ.
- දැන් සූත්‍රයට අනුව U හා V පහසුවෙන් හදුනාගත හැකි වන අතර සූත්‍රයේ දකුණු පසට අනුකූල වන පරිදි අනුකලනය සිදුකල හැකිය.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int xe^xdx&=&\int x\bullet\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx\\&=&xe^x-\int e^x\bullet\frac{\operatorname dx}{\operatorname dx}dx\\&=&xe^x-\int e^xdx\\&=&xe^x-e^x+C\end{array}
\begin{array}{rcl}\int xe^xdx&=&\int e^x\bullet\frac{\operatorname d({{\displaystyle\frac{x^2}2})}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac{x^2}2\bullet e^x-\int\frac{x^2}2\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac{x^2}2\bullet e^x-\int\frac{x^2}2e^xdx\end{array}
\text{ (ගැටලුව සංකීර්ණ වේ)}
නිදසුන 02
ʃ x2cosx dx සොයන්න.
විසදුම
- සූත්‍රයේ වම්පසට අනුකූල වන පරිදි ක්‍රම දෙකකට මෙම ගැටලුව සකස් කල හැකිය.
ලෙස වේ.
- මෙම දෙවන ක්‍රමයට සකස් කල විට අනුකලනය සංකීර්ණ වන බැවින් පළමු සකස් කිරීමට අනුව අනුකලනය කරමු.
සටහන්
- සරලව ගතහොත් ගැටලුවක් කොටස් වශයෙන් අනුකලනය භාවිතයෙන් විසදීමේදි එයට ඉහත සූත්‍රය යෙදු විට ලැබෙන \int V\;\frac{\operatorname dU}{\operatorname dx}\;dx අනුකලනය කල හැකිවන ලෙස U තෝරාගත යුතුය.
ගැටලු විසදීමේදි U තෝරාගත හැකි සරල ක්‍රමයක්….
I L A T E
I :- ප්‍රතිලඝු ශ්‍රිත L :- ලඝුගණක ශ්‍රිත A :- වීජීය ශ්‍රිත T :- ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත E :- ඝාතීය ශ්‍රිත
- ගැටලුවක යෙදී ඇති ශ්‍රිත දෙක ඉහත I LATE අනුපිළිවෙලින් බැලු විට මුලින්ම යෙදෙන ශ්‍රිතය U ලෙස තෝරාගත හැක.
නිදසුන 03
ʃ ex cosx dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int e^xcosxdx\;&=&\int cosx\frac{\operatorname d(e^x)}{\operatorname dx}dx\\&=&e^xcosx-\int(-sinx)\bullet e^xdx\\&=&e^xcosx+\int sinx\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx\\&=&e^xcosx+e^xsinx-\int e^xcosxdx\end{array}- මෙහිදි වම් පස ඇති පදයම දකුණු පස සෑදි ඇත.එම නිසා එම පදය වම් පසට ගෙන ආ යුතුය. එවිට,
නිදසුන 04
ʃ sin-1x dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}&&\\ sin^{-1}xdx&=&\ sin^{-1}x\frac{\operatorname dx}{\operatorname dx}dx\\&=&xsin^{-1}x-\int\frac1{\sqrt{(1-x^2)}}\bullet xdx\\&=&xsin^{-1}x+\int\frac{({\displaystyle\frac{-1}2})(-2x)}{\sqrt{(1-x^2)}}dx\\&=&xsin^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C\end{array}නිදසුන 05
ʃ tan-1x dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int tan^{-1}xdx&=&\int tan^{-1}x\bullet\frac{\operatorname dx}{\operatorname dx}dx\\&=&xtan^{-1}x-\int\frac1{1+x^2}\bullet xdx\\&=&xtan^{-1}x–\frac12\int\frac{2x}{1+x^2}dx\\&=&xtan^{-1}x–\frac12ln\vert1+x^2\vert+C\end{array}නිදසුන 06
ʃ lnx dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int\ln x\;dx\;&=&\;\int\ln x\;\bullet\frac{\operatorname d\mathrm x}{\operatorname d\mathrm x}\;\;dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\;x\ln x\;-\;\int\frac{1\;\;}x\bullet x\;dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\;x\ln x\;-\int(1)\;\;dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&=&\;x\ln x\;–\;x\;+\;C\end{array}නිදසුන 07
ʃ x3 lnx dx සොයන්න.
\begin{array}{rcl}\int x^3lnxdx&=&\int lnx\bullet\frac{\operatorname d({\displaystyle\frac{x^4}4})}{\operatorname d{}}dx\\&=&\frac{x^4}4lnx-\int\frac1x\bullet\frac{x^4}4dx\\&=&\frac{x^4}4lnx–\frac14\int x^3dx\\&=&\frac{x^4}4lnx-\frac1{16}x^4+C\end{array}විසදුම
නිදසුන 08
ʃ x e3xdx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int xe^3xdx&=&\int x\frac{\operatorname d{(\frac{e^{3x}}3)}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac{xe^{3x}}3-\int\frac{e^{3x}}3dx\\&=&\frac{xe^{3x}}3–\frac13\bullet\frac13e^{3x}+C\\&=&\frac{xe^{3x}}3–\frac{e^{3x}}9+C\end{array}නිදසුන 09
ʃ exsin2x dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int e^xsin2xdx&=&\int sin2x\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx\\&=&e^xsin2x-2\int cos2xe^xdx\\&=&e^xsin2x-2\int cos2x\frac{\operatorname de^x}{\operatorname dx}dx\\&=&e^xsin2x-2{{e^xcos2x-2\int e^x(-sin2x)dx}}\\&=&e^xsin2x–2e^xcos2x-4\int e^xsin2xdx\end{array} \begin{array}{rcl}5\int e^xsin2xdx&=&e^x(sin2x-2cos2x)\\\int e^xsin2xdx&=&\frac{e^x}5(sin2x–2cos2x)+C\end{array}නිදසුන 10
ʃ e2xcosx dx සොයන්න.
විසදුම
\begin{array}{rcl}\int e^2xcosxdx&=&\int cosx\frac{\operatorname d{(\frac{e^{2x}}2)}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac12e^{2x}cosx-\int\frac12(-sinx)e^{2x}dx\\&=&\frac12e^{2x}cosx+\frac12\int sinx\frac{\operatorname d{(\frac12e^{2x}})}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac12e^{2x}cosx+\frac12{\frac12e^2xsinx-\int\frac12e^{2x}cosxdx}\\&=&\frac12e^{2x}cosx+\frac14e^{2x}sinx-\frac14\int e^{2x}cosxdx\\\frac54\int e^2xcosxdx&=&{\frac12e^{2x}cosx+\frac14e^{2x}sinx}\\\int e^2xcosxdx&=&\frac45{2e^{2x}cosx+e^{2x}sinx}+C\end{array}පුංචි අභියෝගයක් ..
මේ රූපයේ තියෙන අඳුරු කළ කොටසේ වර්ගඵලය සොයන්න.මෙහි දැක්වෙන කුඩා වෘත්තයට අදාළ ස්පර්ශකයේ දිග ඒකක 8 කි.
අභ්‍යාස මාලාව
x විෂයෙන් කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කරන්න.
- x2 e4x
2. x3(lnx)2
3. e-x sinx
4. x sin(x+π/6)
5. x cos(nx)
6. xnlnx
7. x sec2x
8. x3 tan-1x
9. eax sin(bx)
10. x (1+x)7
විසදුම්
1.
\begin{array}{rcl}\int x^2e^4xdx&=&\int x^2\frac{\operatorname d{(\frac14e^{4x})}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac14e^{4x}-\frac14\int2xe^{4x}dx\\&=&\frac14e^{4x}-\frac12\int x\frac14e^{4x}dx\\&=&\frac14e^{4x}-\frac12{\frac14xe^{4x}-\frac14\int e^{4x}dx}\\&=&\frac14e^{4x}-\frac18xe^{4x}+\frac18\int xe^{4x}dx\\&=&\frac14e^{4x}-\frac18xe^{4x}+\frac1{32}e^{4x}+C\end{array}2.
\begin{array}{rcl}\int x^3(lnx)^2dx&=&\int(lnx)^2\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac14}x^4)}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac14x^4(lnx)^2-\int2(lnx)\bullet\frac1x\bullet\frac14x^4dx\\&=&{\frac14x^4(lnx)^2}-\frac12\int(lnx)x^3dx\\&=&{\frac14x^4(lnx)^2}-\frac12\int(lnx)\frac{\operatorname d{(\frac14x^4)}}{\operatorname dx}dx\\&=&{\frac14x^4(lnx)^2}-\frac12\{\frac14x^4lnx-\int\frac12\bullet\frac14x^4dx\\&=&{\frac14x^4(lnx)^2}-\frac18x^4\ln x+\frac18\int x^3dx\\&=&{\frac14x^4(lnx)^2}-\frac18x^4\ln x+\frac1{32}x^4+C\end{array}3.
\begin{array}{rcl}\int e(-x)sinxdx&=&\int sinx\frac{\operatorname d{(-e^{-x})}}{\operatorname dx}dx\\&=&-e^{-x}sinx-\int cosx(-e^{-x})dx\\&=&-e^{-x}sinx+\int e^{-x}cosxdx\\&=&-e^{-x}sinx+\int cosx\frac{\operatorname d{(-e^{-x})}}{\operatorname dx}dx\\&=&-e^{-x}sinx-e^{-x}\cos x-\int(-sinx)(-e^{-x})dx\\&=&-e^{-x}sinx-e^{-x}\cos x-\int e^{-x}{sinx}dx\\2\int e^{-x}sinxdx\;&=&-e^{-x}sinx-e^{-x}\cos x\\\int e^{-x}sinxdx\;&=&-e^{-x}\frac12(sinx+\cos x)\end{array}4.
\begin{array}{rcl}\int xsin(x+\frac\pi6)dx&=&\int x\frac{\operatorname d{-\cos{(x+\frac\pi6)}}}{\operatorname dx}dx\\&=&-\cos{(x+\frac\pi6)}-\int{{-\cos{(x+\frac\pi6)}}}dx\\&=&-\cos{(x+\frac\pi6)}+\int\cos{(x+\frac\pi6)}dx\\&=&-\cos{(x+\frac\pi6)}+\int\sin{(x+\frac\pi6)}dx+C\end{array}5.
\begin{array}{rcl}\int xcos(nx)dx&=&\int x\frac{\operatorname d{{{\displaystyle\frac1n}\sin(nx)}}}{\operatorname dx}dx\\&=&{\frac1n\sin(nx)}-\frac1n\int sin(nx)dx\\&=&\frac xnsin(nx)-\frac1n(-\frac1ncosnx)+C\\&=&\frac xnsinnx+\frac x{n^2}cosnx+C\end{array}6.
\begin{array}{rcl}\int x^nlnxdx\;&=&\int lnx\frac{\operatorname d(\frac1{n+1}x{}^{n+1})}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac1{n+1}x^{n+1}lnx-\int\frac1{n+1}x{}^{n+1}\frac1x\\&=&\frac1{n+1}x{}^{n+1}lnx-\int\frac1{n+1}\int x^ndx\\&=&\frac1{n+1}x{}^{n+1}lnx-\frac1{(n+1)^2}x{}^{n+1}\;+C\;\end{array}7.
\begin{array}{rcl}\int xsec^2xdx&=&\int x\;\frac{\operatorname d(tanx)}{\operatorname dx}dx\\&=&xtanx-\int tanxdx\\&=&xtanx+ln\vert cosx\vert+C\end{array}8.
\begin{array}{rcl}\int x^3tan^{-1}xdx&=&\int tan^{-1}x\frac{\operatorname d({\displaystyle\frac14}x^4)}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac14x^4tan^{-1}x-\frac14\int\frac{x^4}{x^2+1}x^2+1dx\end{array}දීර්ඝ බෙදීමෙන්
\begin{array}{rcl}\frac{x^4}{x^2+1}&=&x^2–1+\frac1{x^2+1}\\\int x^3tan^{-1}xdx\;&=&\frac14x^4tan^{-1}x-\frac14\int\{{x^2–1+\frac1{x^2+1}\;\;}\;dx\\&=&\frac14x^4tan^{-1}x-\frac1{12}x^3+\frac x4-\frac14tan^{-1}x+C\end{array}9.
\begin{array}{rcl}\int e^{ax}sin(bx)dx&=&\int sin(bx)\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac1a}e^{ax})}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac1ae^{ax}sinbx-\frac ba\int cosbxe^{ax}dx\\&=&\frac1ae^{ax}sinbx-\frac ba\int cosbx\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac1a}e^{ax})}}{\operatorname dx}dx\\&=&\frac1ae^{ax}sinbx-\frac ba{\;{\frac1a\;e^{ax}\cos bx-\frac ba\int e^{ax}(-\sin bx)dx\;}\;\;}\\&=&\frac1ae^{ax}sinbx-\frac b{a^2}{\;e^{ax}\cos bx-\frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}(-\sin bx)dx\;\;\;}\\(a^2+b^2){\int e^{ax}\sin bxdx\;\;}&=&e^{ax}(asinbx-bcosbx)\\\int e^{ax}sinbxdx&=&\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(asinbx–bcosbx)+C\end{array}10.
\begin{array}{rcl}x(1+x)^7dx&=&\int x\bullet\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac18}(1+x)^8})}{\operatorname dx}dx\\&=&{{\frac x8(1+x)^8}\;}-\frac18\int(1+x)^8dx\\&=&{\frac x8(1+x)^8}\;-\frac1{72}(1+x)^9+C\end{array}විභාග ගැටලු
1. කොටස් වශයෙන් අනුකලනය යොදගනිමින් ʃ e3xcos4x dx සොයන්න. (2004)
\begin{array}{rcl}\int e^{3x}cos4xdx&=&\int cos4x\frac{\operatorname d({\displaystyle\frac13}e^{3x})}{\operatorname dx}dx\;\boxed5\\&=&\frac13e^{3x}cos4x-\frac13\int(-4sin4x)e^{3x}dx\;\;\;\boxed5\\&=&\frac13e^{3x}cos4x+\frac43\int sin4x\frac{\operatorname d({\displaystyle\frac13}e^{3x})}{\operatorname dx}dx\;\;\boxed5\\&=&\frac13e^{3x}cos4x+\frac43{\frac13e^{3x}\sin4x-\frac43\int e^3xcos4xdx}\;\boxed5\\&=&\frac13e^{3x}cos4x+\frac49e^3xsin4x-\frac{16}9\int e^3xcos4xdx\\\int e^3xcos4xdx&=&e^3x(3cos4x+4sin4x)\;\boxed5\\\int e^3xcos4xdx&=&\frac{e^{3x}}{25}(3cos4x+4sin4x)+C\;\;\;\;\;\boxed5\end{array}2. කොටස් වශයෙන් අනුකලනය යොදගනිමින් ʃ e4xsin3x dx සොයන්න. (2006)
\begin{array}{rcl}\int e^4xsin3xdx&=&\int sin3x\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac14}e^{4x})}}{\operatorname dx}dx\;\boxed5\\&=&{\frac14e^{4x}}sin3x-\frac34\int cos3xe^4xdx\;\;\;\;\boxed5\\&=&\frac14e^{4x}sin3x-\frac34\int cos3x\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac14}e^{4x})}}{\operatorname dx}dx\;\;\;\;\boxed5\\&=&\frac14e^{4x}sin3x-\frac34\{{\frac14\;e^{4x}\cos3x-\frac34\int e^4x(-\sin3x)dx\;\;}\;\;\boxed5\\&=&\frac14e^{4x}sin3x-\frac3{16}e^{4x}cos3x-\frac9{16}\int e^4xsin3xdx\;\;\;\\\int e^4xsin3xdx&=&e^4x(4sin3x-3cos3x)\;\;\;\;\boxed5\\\int e^4xsin3xdx&=&\frac{e^{4x}}{25}(4sin3x–3cos3x)+C\;\;\;\;\boxed5\end{array}3. I = ʃ eax cosbx dx හා J = ʃ eax sinbx dx යැයි ගනිමු. මෙහි a හා b යනු ශුන්ය නොවන තාත්වික සංඛ්‍යා වේ.
bI + aJ = eax sinbx හා aI – bJ = eax cosbx dx බව පෙන්වන්න. ඒනයින් I හා J සොයන්න. (2010)
\begin{array}{rcl}I&=&\int e^{ax}cosbxdx\\I&=&\int cosbx\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac1a}e^{ax})}}{\operatorname dx}dx\;\;\;\;\boxed5\\I&=&\frac1ae^{ax}cosbx-\int b(-sinbx)\bullet\frac1ae^{ax}dx\\I&=&\frac1ae^{ax}cosbx+\frac ba\int sinbxe^{ax}dx\;\;\;\;\;\boxed5\;\end{array} \begin{array}{rcl}aI-bJ&=&e^{ax}cosbx\\J&=&\int e^{ax}sinbxdxJ=\int sinbx\frac{\operatorname d{({\displaystyle\frac1a}e^{ax})}}{\operatorname dx}dx\;\;\;\;\boxed5\\J&=&\frac1ae^{ax}\sin bx-\int bcosbx\bullet\frac1ae^{ax}dx\\&=&\frac1ae^{ax}\sin bx-\frac ba\int e^axcosbxdx\;\;\;\;\;\;\;\boxed5\\&&\\&&\end{array}bI + aJ = eax sinbx
\begin{array}{rcl}aI-bJ&=&cosbx\bullet e^{ax\;\;}\longrightarrow\boxed1\\aJ+bI&=&sinbx\bullet e^{ax\;}\;\;\longrightarrow\boxed2\\&&(1)\times a+(2)\times b\\(a^2+b^2)I&=&e^{ax}\lbrack acosbx+bsinbx\rbrack\\I&=&\frac{e^{ax}}{(a^2+b^2)}\lbrack acosbx+bsinbx\rbrack\;\;\boxed5\\&&(2)\times a-(1)\times b\\(a^2+b^2)J&=&e^{ax}\lbrack asinbx-bcosbx\rbrack\\J&=&\frac{e^{ax}}{(a^2+b^2)}\lbrack asinbx–bcosbx\rbrack\;\;\;\boxed5\\&&\\&&\end{array}“Science is the Differential Calculus of the mind. Art the Integral Calculus; they may be beautiful when apart, but are greatest only when combined.”
-Ronald Ross-
