- සංයුක්ත ගණිතය 1 ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ 17 වන ගැටලුවේ අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමේ සිද්ධාන්ත වේ.
ABC ත්‍රිකෝණයේ සම්මත අංකනය
\begin{array}{rcl}A+B+C\;&=&\;\mathrm\pi\\\mathrm a+\mathrm b+\mathrm c&=&\;2\mathrm s\end{array}
s = අර්ධ පරාමිතිය
Sin සූත්‍රය
ඕනෑම ABC ත්‍රිකෝණයක් සදහා,
\boxed{\frac a{\sin A}\;\;=\;\frac b{\sin B}\;\;=\;\;\;\frac c{\sin C\;}}
Sin නීතිය ඔප්පු කිරීම
1. A<\frac\pi2\text{විට}
CM = bsinA
CM = asinB
2. A=\frac\pi2\text{විට}
\begin{array}{rcl}\mathrm{CM}&=&\mathrm b\;\mathrm x1\\&=&\mathrm b\;\sin\frac{\mathrm\pi}2\;\\&=&\mathrm b\;\mathrm{sinA}\;\;\\\mathrm{CM}&=&\mathrm a\;\mathrm{sinB}\text{}\end{array}
3. A>\frac\pi2\text{විට}
\begin{array}{rcl}\;\mathrm{CM}&=&\mathrm b\;\sin(\mathrm\pi-\mathrm A)\\&=&\mathrm{bsinA}\\\mathrm{CM}&=&\mathrm a\;\mathrm{sinB}\text{}\end{array}
\begin{array}{rcl}{1,2\mathrm{ හා}\;3\;\;\mathrm{ අවස්ථා}\;\;\mathrm{ අනුව},}\;\;\;\;\;\;\;\\\mathrm{CM}&=&\mathrm b\;\mathrm{sinA}\;=\mathrm a\;\mathrm{sinB}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\{\mathrm{sinA}\;\mathrm{sinB}\;\mathrm{වලින්}\;\mathrm{ බෙදීමෙන්,}\;}\\[4px]\frac{\;\mathrm b\;\mathrm{sinA}}{\mathrm{sinA}\;\mathrm{sinB}}\;&=&\;\frac{\mathrm a\;\mathrm{sinB}}{\mathrm{sinA}\;\mathrm{sinB}}\\[4px]\frac{\mathrm b}{\mathrm{sinB}}\;\;&=&\frac{\mathrm a}{\mathrm{sinA}}\;---\;\left[1\right]\\\mathrm{එමෙන්ම,}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\frac{\mathrm a}{\mathrm{sinA}}\;\;&=&\frac{\mathrm c}{\mathrm{sinC}}\;\;\mathrm{වේ}\;.\;\;\;---\;\left[2\right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&&\\\left[1\right]&=&\left[2\right]\;\mathrm{ නිසා}\;\text{}\end{array}
\boxed{\frac a{\sin A}\;\;=\;\frac b{\sin B}\;\;=\;\;\;\frac c{\sin C\;}}
එමෙන්ම,
\boxed{\frac{\sin A}a\;\;=\;\frac{\sin B}b\;\;=\;\;\;\frac{\sin C\;}c}
COS සූත්‍රය
ඕනෑම ABC ත්‍රිකෝණයක් සදහා,
\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\;\cos A}
එමෙන්ම,
\begin{array}{l}\\b^2=a^2+c^2-2bc\cos A\;\text{වේ}\;.\\c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\;\mathrm{වේ}\;.\end{array}
COS නීතිය ඔප්පු කිරීම
1. A<\frac\pi2\text{විට}
\begin{array}{rcl}\mathrm{CM}&=&\mathrm b\;\mathrm{sinA}\;\;\\\mathrm{BM}&=&\mathrm c-\mathrm b\;\mathrm{cosA}\end{array}
2. A=\frac\pi2\text{විට}
\begin{array}{rcl}CM&=&b\;\times1\;\\&=&b\;\sin\;\;\left(\frac\pi2\right)\\&=&b\;\sin A\;\;\;\\BM&=&c-0\\&=&c-b\cos\left(\frac\pi2\right)\;\\&=&c-b\;\cos A\end{array}
3. A>\frac\pi2\text{විට}
\begin{array}{rcl}CM&=&b\;\sin(\pi-A)\\BM&=&c+b\cos(\pi-A)\\&=&c-b\;\cos A\end{array}
\begin{array}{rcl}\text{1 , 2 , හා 3 අවස්ථා අනුව,}\\BC^2&=&CM^2+MB^2\\a^2&=&(bsinA)^2+(c-bcosA^{)2}\\a^2&=&b^2sin2A+c^2-2bccosA+b2cos^2A\\a^2&=&b^2(sin^2A+cos^2A)+c^2-2bccosA\\a^2&=&b^2+c^2-2bccosA\\\text{එමෙන්ම, }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\b^2&=&a^2+c^2-2bccosB\;\mathrm{වේ}.\\c^2&=&a^2+b^2-2abcosC\;\text{වේ}.\end{array}
COS සූත්‍රය භාවිතා කරමින් sin නීතිය ඔප්පු කිරීම
\begin{array}{rcl}a^2&=&b^2+c^2-2bccosA\\2bccosA&=&b^2+c^2-a^2\\[4px]cosA=\frac{(b^2+c^2-a^2)}{2bc}\\[4px]cos^2A&=&\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}\\[4px]1-sin^2A&=&\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&1-\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&\frac{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&\frac{[2bc-(b^2+c^2-a^2)][2bc+(b^2+c^2-a^2)]}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&\frac{[a^2-(b^2+c^2-2bc)][(b+c)^2-a^2]}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&\frac{[a^2-(b-c)^2][(b+c)^2-a^2]}{(2bc)^2}\\[4px]sin^2A&=&\frac{{(a-b+c)(a+b-c)}{(b+c-a)(b+c+a)}}{(2bc)^2}\\[4px]\frac{\sin^2A}{a^2}&=&\frac{{(a-b+c)(a+b-c)}{(b+c-a)(b+c+a)\;}}{(2bc)^2a^2}\\[4px]\frac{\sin^2A}{a^2}&=&\frac{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}{\;(2abc)^2\;}\\[4px]\frac{\sin A}{a}&=&\frac{\sqrt{a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}{2abc}\;---\boxed1\\\text{එමෙන්ම}\;\;\;\;\;\;\\\frac{\sin B}b&=&\frac{\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}{2abc}---\boxed2\\[4px]\frac{\sin C}c&=&\frac{\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)}}{2abc}---\boxed3\\[8px]\boxed1\;&=&\;\boxed2\;=\;\boxed3\\[6px]\therefore\frac{\sin A}a&=&\frac{\sin B}b=\frac{\sin C}c\text{වේ}\\[4px]\therefore\frac a{sinA}&=&\frac b{sinB}=\frac c{sinC}\text{වේ}\end{array}
sin සූත්‍රය භාවිතා කරමින් cos නීතිය ඔප්පු කිරීම
\begin{array}{rcl}\dfrac a{\sin A}&=&\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=\lambda\;\text{යැයි ගනිමු}\\[4px]\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}&=&\dfrac{(\lambda\sin B)^2+(\lambda\sin C)^2-(\lambda\sin A)^2}{(2\times\lambda\sin B\lambda\sin C)}\\[4px]&=&\dfrac1{2sinBsinC}\left[\dfrac{(1-\cos2B)}2+\dfrac{(1-\cos2C)}2-\dfrac{(1-\cos2A)}2\right]\\[4px]&=&\dfrac1{2sinBsinC}\times\dfrac12\lbrack1-(cos2B+cos2C)+1-1+cos2A\rbrack\\[4px]&=&\dfrac1{4sinBsinC}\lbrack1+2cos^2A-1-(2cos(B+C)\cos(B-C)\rbrack\\[4px]&=&\dfrac1{4sinBsinC}\lbrack2cos^2A+2cosAcos(B-C)\rbrack\\[4px]&=&\dfrac1{4sinBsinC}\times2cosA\lbrack cosA+cos(B-C)\rbrack\\[4px]&=&\dfrac{\cos A}{2sinBsinC}\lbrack-cos(B+C)+cos(B-C)\rbrack\\[4px]&=&\dfrac{\cos A}{2sinBsinC}\times2sinBsinC\\[4px]&=&cosA\\&&\end{array}
පුංචි අභියෝගයක්!
සම්මත අංකනයට අනුව නම් කරන ලද ත්‍රිකෝණයක A,B හා C කෝණවල අගයයන් සමාන්තර ශ්‍රේණියක අනුයාත පද ලෙස පිහිටයි නම්,
\frac ac\;\sin2C+\frac ca\;\sin2A\;හි අගය සොයන්න.
පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න
2020 AL
