විචල්ය මාරු කිරීමෙන් අනුකලනය කිරීම
ප්රමේයය
\int\left\{f\left(x\right)\right\}^nf'\left(x\right)dx=\frac{\left\{f\left(x\right)\right\}^{n+1}}{n+1}+c
සාධනය
\begin{array}{rcl}\frac d{dx}\left[\frac{\left\{f\left(x\right)\right\}^{n+1}}{n+1}+c\right]&=&\frac1{\left(n+1\right)}.(n+1)\left\{f\left(x\right)\right\}^{n+1-1}\frac d{dx}f\left(x\right)+0\\&=&\left\{f\left(x\right)\right\}^n.f'\left(x\right)\end{array}- අනුකලනය අර්ථ දැක්වීමට අනුව,
\int\left\{f\left(x\right)\right\}^nf'\left(x\right)dx=\frac{\left\{f\left(x\right)\right\}^{n+1}}{n+1}+c වේ.
- උදාහරණ 01
- උදාහරණ 02
\begin{array}{l}\frac d{dx}\left(x^4\right)=4x^3\Rightarrow d\left(x^4\right)=4x^3dx\\\\\end{array}
\begin{array}{rcl}\int x^3e^{x^4}dx&=&\frac14\int e^{x^4}d\left(x^4\right)\\&=&\frac14e^{x^4}+c\\&&\\&&\end{array} ; c- අභිමත නියතයකි
- උදාහරණ 03
- උදාහරණ 04
\begin{array}{rcl}\therefore\int e^x(1-e^x)^3dx&=&\int(1-e^x)^3.d(e^x)\\&=&\int d(e^x)-3\int e^xd(e^x)+3\int e^{x^2}d(e^x)-{\int e^{x^3}d(e^x})\\&=&e^x-\frac32e^{x^2}+e^{x^3}-\frac14e^{x^4}+C\;(C\;අභිමත\;නියතයකි)\end{array}
- උදාහරණ 05
\begin{array}{rcl}&&\int\left(2x+1\right)e^{\left(x^2+x\right)}dx\\&&\\&&\\&&\end{array}
\begin{array}{rcl}&&\\\frac d{dx}\left(x^2+x\right)&=&2x+1\Rightarrow d\left(x^2+x\right)=\left(2x+1\right)dx\\&&\\&&\end{array}
\begin{array}{rcl}\int\left(2x+1\right)e^{\left(x^2+x\right)}dx&=&\int e^{\left(x^2+x\right)}d\left(x^2+x\right)\\&=&\frac12e^{\left(x^2+x\right)}+c\\&&\\&&\\&&\end{array}
- උදාහරණ 06
පහතින් දක්වා ඇත්තේ මේ ආකාරයේ ගැටළු විසඳීමට ආදේශ කිරීම් යොදා ගන්නා ආකාරය වේ. මෙය සම්බන්ධව පසුව විස්තරාත්මකව සාක්ච්ඡා කෙරෙන නිසා පහතින් විසඳුම පමණක් දක්වා ඇත.
- උදාහරණ 07
“Wholeness is not achieved by cutting off a portion of one’s being, but by integration of the contraries.”
-Carl Jung-
