- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ(රචනා ප්‍රශ්න) 17 වැනි ප්‍රශ්නයේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.
මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල හැසිරීම ප්‍රස්තාර ඇසුරින් නිරුපණය
- y = Sin(x) ප්‍රස්තාරය
- y = Cos(x) ප්‍රස්තාරය
- y=Tan(x) ප්‍රස්තාරය
- ඉහත ප්‍රස්තාරවලින් Sin, Cos ශ්‍රිතවල දිග 2π වූ ආවර්ත ස්වභාවයක් හා Tan ශ්‍රිතයේ දිග πවූ ආවර්ත ස්වභාවයක් ඇති බව පැහැදිලි වේ.
y = Sin(x+α), y = Cos(x+α), y=Tan(x+α) ආකාරයේ ප්‍රස්තාර නිර්මාණය කිරීම.
x+α ප්‍රකාශනය මඟින් මුළු ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය ඔස්සේ α<0 හෝ α>0 වීම මත දකුණට හෝ වමට සර්පණය වේ.
y = Sin(x+α), y = Cos(x+α) නිර්මාණය කිරීමේ පියවර
- උපරිම (y=1) අගය ලැබෙන අවස්ථාව හෝ y=0 අවස්ථාව හෝ අවම (y=-1) අගය ලැබෙන අවස්ථාව හෝ ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රකාශනයේ කෝණය ඊට අනුරූප කෝණයකට සමාන කර ලබා ගැනීම.
නිදසුන්:
Y= Sin(x+π/3)
| Y=-1 | Y=0 | Y=1 |
| \begin{array}{l}y=\sin\left(\;x+\frac\pi3\;\right)\;=\;\sin\;\left(-\frac\pi2\right)\;=\;-1\;\\\text{එමනිසා},\;\\x+\frac\pi3\;=\;-\frac\pi2\\[4px]x=-\frac{5\pi}6\;\text{විට}\;y=-1\;\text{වී අවම අගය ලැබේ.}\end{array} | \begin{array}{l}y=\sin\left(\;x+\frac\pi3\;\right)\;=\;\sin\;\left(0\right)\;=\;0\;\\\text{එමනිසා},\;\\x+\frac\pi3\;=\;0\\[4px]x=-\frac\pi3\;\text{විට}\;y=0\;\text{අගය ලැබේ.}\end{array} | \begin{array}{l}y=\sin\left(\;x+\frac\pi3\;\right)\;=\;\sin\;\left(\frac\pi2\right)\;=\;1\;\\\text{එමනිසා},\;\\x+\frac\pi2\;=\;0\\[4px]x=\frac\pi6\;\text{විට}\;y=1\;\text{වී උපරිිම අගය ලැබේ.}\end{array} |
ඉහත එක් ලක්ෂයක් සලකා මෙම ප්‍රස්තාරය සම්පූර්ණ කළ හැක.
- ප්‍රකාශනයේ (x+α) පදයේ x හි සංගුණකය 1 බැවින්, ප්‍රස්තාර හැඩයේ ආවර්තයක දිග 2\pi වේ. එබැවින් එක ළඟ පිහිටි y=0,y=1 හෝ y=0,y=-1 ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර x අක්ෂය ඔස්සේ දුර \frac\pi2 ප්‍රමාණයකි.
නිදසුන්: y=\sin\left(\;x+\frac\pi3\;\right)
- එලෙස සලකන පරාසය තුල ප්‍රමාණවත් ශ්‍රිතය මත පිහිටන ලක්ෂ ලකුණු කර වක්‍ර හැඩය සලකමින් ප්‍රස්තාරය සම්පූර්ණ කළ යුතුය.
නිදසුන්: y=\sin\left(\;x+\frac\pi3\;\right)
එවැනි cos ශ්‍රීතයක්ද cos වලට අනුරූප අවම, උපරිම අගයන් සලකා ප්‍රස්ථාරගත කළ හැක.
y=Tan(x+α) ආකාරයේ ප්‍රස්තාර නිර්මාණය කිරීම
- x+α = 0 වන අවස්ථාව ලබාගෙන ඊට අනුරූප x අක්ෂය පිහිටි ලක්ෂ්‍යය ලකුණු කර ආවර්තයක දිග වන π හා tan ප්‍රස්ථාරයේ හැඩය සලකමින් ප්‍රස්තාරය සම්පූර්ණ කළ හැක.
නිදසුන්:
\begin{array}{rcl}y\;&=&\;\tan\left(x-\frac\pi4\;\right)\text{ සලකමු}.\;\\x-\frac\pi4\;&=&\;0\;\text{විට,}\;\\x\;&=&\;\frac\pi4\end{array}
\text{එනම්}\;x=\frac\pi4\;\text{විට}\;y=0\;\text{වේ.}
දිග π වූ ආවර්තයක් සහිතව tan ප්‍රස්තාර හැඩය සලකමින් ප්‍රස්තාර ගත කළ විට,
(x-\frac1x)^\frac12+(1-\frac1x)^\frac12=x
මෙම ප්‍රකාශනයේ x සඳහා තාත්වික විසඳුම් සෙවීමයි ඔබට ලැබෙන අභියෝගය වෙන්නේ.
y = a + bSin(kx+α) , y = a + bCos(kx+α) , y = a + bTan(kx+α) ආකාරයේ ප්‍රස්තාර නිර්මාණය
ඉහත වෘත්ත ශ්‍රිතවල එක් එක් නියතයෙන් ශ්‍රිතයට සිදු කරන බලපෑම පහත පරිදි වේ.
y = a + bSin(kx+α) , y = a + bCos(kx+α) ශ්‍රිත සලකමු
ප්‍රස්ථාරය නිර්මාණය කිරීමේ පියවර
- ආවර්ත දිග සෙවීම :
\cos\;\text{සහ}\;\sin\;\text{ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අවර්ත දිග }=\;\frac{2\pi}{x\text{හි සංගුණකයේ විශාලත්වය}}\;=\;\frac{2\pi}k
නිදසුන්:\;\;\;y\;=\;3\;-\;2\;\cos\left(2x-\frac\pi2\right)\;\rightarrow\;\text{ආවර්ත දිග}\;=\;\frac{2\pi}2\;=\;\pi
- උපරිම හා අවමයන් ලැබෙන ඛණ්ඩාංකය බැඟින් සෙවීම
මෙහිදී ශ්‍රිතයේ ත්‍රිකෝණමිතික පද කොටස -1ට හා +1ට වෙන වෙනම සමාන කර අනුරූප x අගයන් නිර්ණය කළ යුතුය.
y\;=\;3\;-\;2\;\cos\left(2x-\frac\pi2\right)\;\text{සලකා,}\begin{array}{rcl}2\;\cos\left(2x-\frac\pi2\right)\;&=&\;-1\\2x\;-\;\frac\pi2\;&=&\;\pi\\x\;&=&\;\frac{3\pi}4\end{array}
\text{එවිට}\;\;y\;=\;3\;+\;2\;=\;5\;\rightarrow\;\left(\;\frac{3\pi}4,\;5\;\right)
\begin{array}{rcl}2\;\cos\left(2x-\frac\pi2\right)\;&=&\;1\\2x\;-\;\frac\pi2\;&=&\;0\\x\;&=&\;\frac\pi4\end{array}
\text{එවිට}\;\;y\;=\;3\;-\;2\;=\;1\;\rightarrow\;\left(\;\frac\pi4,\;1\;\right)
අවම හා උපරිම අගය මෙලෙසද නිර්ණය කළ හැක,
Y උපරිම අගය = 5
Y අවම අගය = 1
එමනිසා, 1≤y≤5
\begin{array}{l}-1\;\leq\;\cos\left(\;2x-\frac\pi2\;\right)\;\leq\;+1\\-2\;\leq\;2\cos\left(\;2x-\frac\pi2\;\right)\;\leq\;+2\\+2\;\geq\;-2\cos\left(\;2x-\frac\pi2\;\right)\;\geq\;-2\;\;(-1\;\text{න් ගුණ කළ බැවින් අසමානතාවන්ගේ පැත්ත මාරු වේ}.)\\+5\;\geq\;3\;-\;2\cos\left(\;2x-\frac\pi2\;\right)\;\geq\;+1\end{array}
y\;=\;3\;-\;2\;\cos\left(\;2x-\frac\pi2\;\right)\;\text{බැවින්}
5 ≥ y ≥ 1
පරාසයේ මධ්‍ය අගය නිර්ණය කරගත යුතුය.
“\frac{\text{උපරිමය + අවමය}}2\;” මඟින් එය ලැබේ.
ඉහත ශ්‍රිතයේ එය 3 වේ.
- ප්‍රස්තාරය x අක්ෂය හා y අක්ෂය ඡේදනය කරන ලක්ෂ්‍ය නිර්ණය කිරීම.
- ප්‍රස්තාරය ඇඳීමට බලාපොරාත්තු වන ශ්‍රිතයට x=0 ආදේශයෙන් ලැබෙන y අගයෙන් y අක්ෂය චේදනය කරන ලක්ෂය ලැබේ.
- Y=0 ලබා දෙන x අගයන් සලකන පරාසය තුල සලකා x අක්ෂය චේදනය වන ලක්ෂ්‍ය සෙවිය හැක.
- සලකන පරාසය තුල උපරිම, අවම ලකුණු කර මධ්‍ය අගය සහිත රේඛාව කඩඉරෙන් ලකුණු කර ගැනීම
- ආවර්ත දිග හා ශ්‍රිතයේ හැඩය සලකමින් ප්‍රස්තාරය නිර්මාණය කිරීම.
- ප්‍රස්ථාරයේ සලකන මායිම්වල කෝණ 2 ශ්‍රිතයට ආදේශ කර අනුරූප කණ්ඩාංක ලකුණු කිරීමද ගැටළුවලදී වැදගත් වේ. ඉහත ශ්‍රිතයේ -2π ≤x≤ +2π පරාසයේ සලකා ඇතී බැවින් ඊට අදාළ කණ්ඩාංක ලකුණු කර ඇත.
y= a + bTan(kx+α) ආකාරයේ ප්‍රස්තාර නිර්මාණය
- Tan පදයේ සන්ගුනකයේ, b හි ධන ඍන ස්වභාවය මත ප්‍රස්ථාර හැඩය වෙනස් වේ.
b>0 විට
b<0 විට
- ආවර්ත දිග නිර්ණය කිරීම.
\tan\;\text{සහ}\;\sin\;\text{ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල අවර්ත දිග }=\;\frac\pi{x\text{හි සංගුණකයේ විශාලත්වය}}\;=\;\frac\pi{k}
- Tan පදය තුළ ඇති පදය 0ට සමාන කොට ඊට අනුරූප සලකන පරාසය තුල පවතින x අගය හා එහිදී y අගය ලබා ගැනීම.
- X=0 ශ්‍රිතයට ආදේශ කර ශ්‍රිතය y අක්ෂය ඡේදන ලක්ෂ්‍යය සොයා ගැනීම.
- ඉහත පරිදි ලබාගත් ඛණ්ඩාංක ඛණ්ඩාංක තලයේ ලකුණු කර එහි y අගය දරන රේඛාව ප්‍රස්ථාරයේ මධ්‍ය රේඛාව ලෙස ගැනීම
- 1) පියවරේ පරිදි හැඩයත් ආවර්ත දිගත් සලකමින් 3,4 පියවරවල ලකුණු කළ ඛණ්ඩාංක ඇසුරින් ප්‍රස්තාරය සම්පූර්ණ කරන්න.
- tan පදයේ සංගුණකය + බැවින් හැඩය:
- ආවර්තය= \frac\pi2
- \begin{array}{rcl}2x-\frac\pi4\;&=&\;0\\x\;&=&\;\frac\pi8\end{array}
\begin{array}{rcl}\text{එවිට}\;y\;&=&\;1\;\rightarrow\;\left(\frac\pi8\;,\;1\right)\end{array} - x=0 විට,
\begin{array}{rcl}y&=&1+2\tan\left(-\frac\pi4\right)=1-2=-1\rightarrow\left(0,1\right)\end{array}
ප්‍රස්තාරය:
2015 ත්‍රිකෝණමිතිය විභාග ගැටලුවේ අවසන් ප්‍රස්තාර නිර්මාණයේ ලකුණු ලබා දීමේ පටිපාටිය සලකමු
Y\;=\;f(x)\;=\;2\;\sin\left(x+\frac\pi4\right)\;+\;1
“ There is geometry in humming of the strings, there is music in the spacing of the spheres”
-Pythagoras-
