- සංයුක්ත ගණිතය I (ශුද්ධ ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ A කොටසේ ගැටලුවක හා B කොටසේ 14 වැනි ගැටලුවෙහි අඩංගු වන්නේ මෙම පාඩමෙහි සිද්ධාන්ත වේ.
ප්‍රස්තාරයකට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකදී ඇඳි ස්පර්ශකයේ සමීකරණය සෙවීම
උදා: (1.) y = x2+3x වක්‍රයට x = 1 දී ඇඳි ස්පර්ශකයේ අනුක්‍රමණය සොයා එහි සමීකරණය සොයමු.
Y = x2+3x
X = 1 විට, y = 4
\frac{dy}{dx}= 2x+3
x = 1 විට,
\frac{dy}{dx} = 2(1)+3
\frac{dy}{dx} = 5
- \frac{dy}{dx} යනු සාධාරණ (x,y) ලක්ෂ්‍යයකදී වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකයේ අනුක්‍රමණය බව පෙර දී උගත්තෙමු.
මෙහි අනුක්‍රමණය, \frac{(y-4)}{(x-1)} = 5
y-4 = 5x-5
y = 5x-1
උදා: (2.) y = x3-2x වක්‍රයට x = 2 දී ඇඳි ස්පර්ශකයේ සමීකරණය සොයන්න.
y = x3-2x
x = 2 විට, y = 4
\frac{dy}{dx} = 3x2-2
x = 2 විට,
\frac{dy}{dx} = 10
අනුක්‍රමණය = \frac{(y-4)}{(x-2)} = 10
(y-4) = 10x-20
y = 10x-16
උදා: (3.) f(x) = (\frac{1}{3})x3-4x2+8x+3 වක්‍රය හා P(3,0) ලක්ෂ්‍යය සලකන්න.
- P(3,0) ලක්ෂ්‍යය වක්‍රය මත පවතින බව පෙන්වන්න.
- P ලක්ෂ්‍යයේදී ඉහත වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකයේ සමීකරණය y=mx+c ආකාරයෙන් සොයන්න. මෙහි m හා c නිර්ණය කළයුතු නියත වේ.
- වක්‍රය මත පිහිටි වෙනත් Q ලක්ෂ්‍යයක සිට ඉහත වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකය P හිදී ඇදි ස්පර්ශකයට සමාන්තර නම්, Q ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
- f(x) = (\frac{1}{3})x3-4x2+8x+3
x = 3 විට,
y = (\frac{1}{3})(27)-(4)(9)+(8)(3)+3
y = 0
එමනිසා P(3,0) ලක්ෂ්‍යය වක්‍රය මත පිහිටයි.
- \frac{dy}{dx}= (\frac{1}{3})(3x2)-(4)(2x)+8
\frac{dy}{dx}= x2-8x+8
X=3 විට,
\frac{dy}{dx}= 9-24+8
\frac{dy}{dx}= -7
අනුක්‍රමණය = \frac{(y-0)}{(x-3)} = (-7)
y = -7x+21
මෙය y = mx+c ආකාර වේ.
එමනිසා m = -7 හා c = 21
- යම් සරල රේඛා දෙකක් සමාන්තර නම් ඒවායේ අනුක්‍රමණ සමාන වේ.
\frac{dy}{dx} = x2-8x+8 = -7
x2-8x+15 = 0
(x-5) (x-3) = 0
x = 5 හෝ x = 3
x=5 විට,
y = (\frac{1}{3})(125) – 4(25)+(8)(5)+3
y = (\frac{125}{3}) – 57
y = (\frac{-46}{3})
එමනිසා Q≡(5, (\frac{-46}{3}))
උදා: (4.) y = 2t3-1 හා x = t2 දී වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකයේ සමීකරණය ලබාගන්න.
y = 2t3-1 x = t2
\frac{dy}{dt} = 2(3t2) \frac{dx}{dt} = 2t
\frac{dy}{dt} = 6t2
\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{dt} x \frac{dt}{dx}
\frac{dy}{dx}= 6t2 (\frac{1}{2t})
\frac{dy}{dx} = 3t
අනුක්‍රමණය = \frac{\{y-\;(2t^3-1)\;\}}{(x-t^2)}
3t = \frac{y-2t^3+1}{x-t^2}
3xt-3t34 = y-2t3+1
y = 3xt-t3-1
උදා: (5.) ay2=x3 වක්‍රයට P (4at2, 8at3) ලක්ෂ්‍යයේදී අඳින ලද ස්පර්ශකයේ සමීකරණය සොයන්න.
ay2 = x3
x විෂයෙන් වරක් අවකලනයෙන්,
a ( 2y)(\frac{dy}{dx}) = 3x2
\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2ay}
P (4at2, 8at3)
\frac{dy}{dx}= \frac{3(4at^2)^2}{2a(8at^3)}
\frac{dy}{dx}= \frac{48a^2t^4)^2}{16a^2t^3)}
\frac{dy}{dx}= 3t
\frac{y -8at^3}{x-4at^2} = 3t
Y -8 at3 = 3xt-12at3
y = 3xt-4at3
ප්‍රස්තාරයකට දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකදී ඇඳි අභිලම්භයේ සමීකරණය සෙවීම.
- ප්‍රස්තාරයක අභිලම්භය යනු එහි ස්පර්ශකයට ඇඳි ලම්භකයයි.
- ලම්භක රේඛා දෙකක අනුක්‍රමණ ගුණිතය -1 වේ.
(එවිට ස්පර්ශකයේත් අභිලම්භයේත් අනුක්‍රමණ ගුණිතය -1වේ.)
උදා: (6.) y2 = 4x+3 වක්‍රයට (0, √3) ලක්ෂ්‍යයේදී ඇඳි ස්පර්ශකයේ හා අභිලම්භයේ සමීකරණ සොයන්න.
y2 = 4x+3
2y (\frac{dy}{dx}) = 4
\frac{dy}{dx} = (\frac{2}{y})
P (0,√3) නම්,
\frac{dy}{dx} = (\frac{2}{√3})
ස්පර්ශකයේ සමීකරණය, (\frac{y-√3}{x-0}) = (\frac{2}{√3})
√3y-3 = 2x
√3y-2x-3 = 0
mm’ = -1 නිසා
(\frac{2}{√3})×m’ = -1
m’ = (\frac{-√3}{2})
අභිලම්භයේ සමීකරණය, (\frac{y-√3}{x-0}) = (\frac{-√3}{2})
2y-2√3 = -√3x
2y+√3x-2√3 = 0
උදා: (7.) (2a,2a) ලක්ෂ්‍යයේදී 3ay2 = x2(x+a) වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකයේ ස්මීකරණය සොයන්න.මෙම ස්පර්ශකයට නවත වක්‍රය හමුවන P ලක්ෂ්‍යයේදී ඛණ්ඩාංක සොයන්න.එයP හිදී වක්‍රයට ඇඳි අභිලම්භය බව සාධනය කරන්න.
3ay 2 = x2 (x+ a)
x විශයෙන් අවකලන කිරීමෙන්,
3a×2y× (\frac{dy}{dx}) = x2×1+ (x+ a) ×2x
\frac{dy}{dx} = (\frac{{x^2+2x(x+ a)}}{6ay})
ලක්ෂය (2a, 2a) නම්, x = 2a හා y=2a
\frac{dy}{dx} = (\frac{{4a^2+4a (3a)}}{6a×2a})
\frac{dy}{dx} = (\frac{{4a^2+12a^2}}{12a^2})
\frac{dy}{dx}= (\frac{4}{3})
ස්පර්ශකයේ ස්මීකරණය: (y-2a)/(x-2a) = 4/3
3(y-2a) = 4(x-2a)
3y+2a-4x = 0
වක්‍ර දෙකක ඡේදන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක යනු එම වක්‍ර දෙක සමගාමී සමීකරණ යුගලයක් ලෙස ගෙන විසඳීමෙන් ලැබෙන x ඛණ්ඩාංකයි.
3ay2 = x2 (x+ a) ―①
3y+2a-4x = 0 ―②
② න් => y = (\frac{(-2a+4x)}{3})
① ට => 3a× {(\frac{(-2a+4x)}{3})}2 = x2 (x+ a)
a× \frac{(4a^2-16ax+16x^2}{3} = x2(x+ a)
4a3-16a2x+16ax2 = 3x2(x+ a)
3x3-13ax2+16a2x-4a3 = 0
සාධකවලට වෙන් කරමු,
( x- 2 a)(3x2-7ax+2a2) = 0
( x- 2a)(x- 2a)(3x-a) = 0
x = 2a හෝ x = (\frac{a}{3})
② ට => 3y+2a-4(\frac{a}{3}) = 0
y = (\frac{-2a}{9})
∴ P≡ ((\frac{a}{3}) , (\frac{-2a}{9}))
P හිදී වක්‍රයට ඇඳි ස්පර්ශකයේ අනුක්‍රමණය m’ නම්,
x = \frac{a}{3} විට,
\frac{dy}{dx} = m’
\frac{dy}{dx}= (\frac{x^2+2x(x+ a)}{6ay})
\frac{dy}{dx} = {\frac{\frac{a^2}9+\frac{2a}3(\frac a3+a)}{6ay}
\frac{dy}{dx}= \frac{\frac{a^2}9+\frac{8a^2}9}{6ay}
\frac{dy}{dx}= (\frac{a}{6y})
\frac{dy}{dx}= (\frac{a}{6(-2a/9)})
\frac{dy}{dx}= (\frac{-3}{4}) =m’
mm’ = -1 විට ලම්භ වේ.
mm’ = \frac{4}{3} x \frac{-3}{4}
mm’ = -1
එමනිසා එය P හිදී වක්‍රයට ඇඳි අභිලම්භය වේ.
උදා: (8.) x = 3(2θ-sin2θ) , y = 3(1-cos2θ) පරිමිතික සමීකරණය මඟින් නිරූපණය කරන වක්‍රයට θ = π/4 වන P ලක්ෂ්‍යයේදී දී ඇති ස්පර්ශකයේ හා අභිලම්භයේ ස්මීකරණ සොයන්න.මේවා y-අක්ෂය L හා M හිදී හමු වේ නම් PLM ත්‍රිකෝණයේ වර්ගඵලය (\frac{9}{4})(π-2)2 බව පෙන්වන්න.
x = 3(2θ-sin2θ) y = 3(1-cos2θ)
θ විෂයෙහි අවකලනයෙන්, y= 3(sin2θ×2)
\frac{dx}{dθ}= 3(2-2cos2θ) \frac{dy}{dθ}= 6sin2θ
\frac{dx}{dθ}= 6(1-cos2θ)
\frac{dx}{dθ}= 12sin2θ
\frac{dy}{dx} = (\frac{dy}{dθ}).(\frac{dθ}{dx} )
\frac{dy}{dx}= (\frac{6sin2θ}{12sin^2θ})
\frac{dy}{dx}= (\frac{12sinθcosθ}{12sin^2θ})
\frac{dy}{dx}= cot θ
θ = \frac{π}{4} විට,
x = 3{(\frac{π}{2})-sin\frac{π}{2}}
x = 3{(\frac{π}{2} -1)
y = 3(1-0)
y = 3
\frac{dy}{dx} = 1
\frac{(y- 3)}{[x-{3(\frac{π}{2} -1)}]} = 1
y- 3 = x-(3\frac{π}{2}) +3
y–x + (3\frac{π}{2})-6 = 0
y = x-(3\frac{π}{2}) + 6
අභිලම්භයේ සමීකරණය, \frac{(y- 3)}{[x-{3(\frac{π}{2} -1)}]} = -1
Y -3 = -x+3\frac{π}{2} -3
y = -x+3\frac{π}{2}
ස්පර්ශකයේ ස්මීකරණයෙන්, x = 0 විට, y = -3\frac{π}{2} +6
අභිලම්භයේ සමීකරණයෙන්, x = 0 විට, y = 3\frac{π}{2}
d = \frac{π}{2} – (-\frac{π}{2} +6)
d= 3π-6
d= 3(π-2)
h = p ලක්ෂ්‍යයේ x ඛණ්ඩාංකය = 3(\frac{π}{2} -1) = 3(π-2)/2
PLM ත්‍රිකෝණයේ ව.ඵ = (\frac{1}{2}) {3(π-2)} {\frac{3(π-2)}{2}}
= \frac{9(π-2)^2}{4}
