- සංයුක්ත ගණිතය II (ව්‍යවහාරික ගණිතය) ප්‍රශ්න පත්‍රයේ B කොටසේ (රචනා ප්‍රශ්න) 11 වැනි ප්‍රශ්නයේ මෙම පාඩමේ අඩංගු සිද්ධාන්ත අඩංගු වේ.
සාපේක්ෂ විස්ථාපනය පිළිබද මූලධර්මය
- A, B, C යනු චලනයේ යෙදෙන සමුද්දේශ රාමු 3 ක් නම් S යනු විස්ථාපනය වන විටදී,
S_{A,B} = S_{A,C} + S_{C,B} වේ.
සාපේක්ෂ ප්‍රවේගය පිළිබද මූලධර්මය
- A, B, C යනු චලනයේ යෙදෙන සමුද්දේශ රාමු 3ක් නම් v යනු ප්‍රවේගය වන විට
V_{A,B} = V_{A,C} + V_{C,B} වේ.
සාපේක්ෂ ත්වරණය පිළිබද මූලධර්මය
- A, B, C යනු චලනයේ යෙදෙන සමුද්දේශ රාමු 3ක් නම් f යනු ත්වරණය වන විට
f_{A,B} = f_{A,C} + f_{C,B} වේ.
උදා :
A හා B දුම්රිය දෙකක දිග පිළිවෙලින් a හා b වේ. ඒවා සමාන්තර මාර්ග ඔස්සේ එකම දිශාවට පිළිවෙලින් u හා v නියත ප්‍රවේග සහිතව චලනය වේ. A ට සාපේක්ෂව B ගේ චලිතය සලකා දුම්රිය දෙක එකිනෙක පසු කරමින් චලනය වන කාලය සොයන්න.
V_{A,B}= \overrightarrow u V_{B,E}= \overrightarrow u
සාපේක්ෂ ප්‍රවේග මූලධර්මය යෙදූ විට
\begin{array}{l}V_{B,A}=V_{B,E}+V_{E,A}\\V_{B,A}=-\xleftarrow[v]{}+\xleftarrow[u]{}\\V_{B,A}=\xleftarrow[{u-v}]{}\end{array}A හා B එකක් අනෙක පසුකර යාමට A ට සාපේක්ෂව B දුම්රිය u-v ප්‍රවේගයෙන් a+b විස්ථාපනයක් සිදු කළ යුතුයි. මේ සදහා ගත වන කාලය t වේ නම්,
t=\frac{a+b}{u-v}උදා 1 :
A නැවක් නියක u ප්‍රවේගයෙන් උතුරු දිශාවට චලනය වේ. එක්තරා මොහොතකදී A සිට d දුරක් නැගෙනහිර දෙසින් B නැවක් පැවති අතර එය උතුරින් p කෝණයක් බටහිරට වූ දිශාවට නියත v ප්‍රවේගයෙන් චලනය වේ. A ට සාපේක්ෂව B ගේ චලිතය සලකා A හා B අතර ඇතිවන කෙටිම දුරත් ඒ සදහා ගත වන කාලයත් සොයන්න.
V_{B,A} = V_{B,E} + V_{E,A} \\ = 
ප්‍රවේග ත්‍රිකෝණය සදහා cos සූත්‍රය යෙදීමෙන් ,
\left|V_{B,A}\right|\;=\sqrt{v^2+u^2-2uv\cos\left(p\right)}
කෙටිම දුර = AC
= d cos p
= \frac{d(u-v\;\cos\;p)}{V_{B,A}}
= \frac{d(u-v\;\cos\;p)}{\sqrt{v^2+u^2-2uv\cos\left(p\right)}}
කෙටිම දුර ඇති වීම සදහා ගත වන කාලය = \frac{BC}{\left|V_{B,A}\right|}
= \frac{d\sin\;p)}{\left|V_{B,A}\right|}
= \left(\frac d{V_{B,A}}\right)\left(\frac{v\;\sin\;p}{V_{B,A}}\right)
= \left(\frac{d\;v\;\sin\;p}{v^2+u^2-2uv\cos\left(p\right)}\right)
උදා 2 :
A බෝට්ටුවක් u ප්‍රවේගයෙන් නැගෙනහිර දෙසට චලනය වේ. එක්තරා මොහෙතෙකදී A සිට d දුරක් උතුරු දෙසින් B බෝට්ටටුවක් පැවතුනි. B හි ප්‍රවේගය v වේ. A සමග ගැටුම් මගක සරල රේඛීයව B වලිත වන බව දී ඇත. B ගේ චලිත දිශාවත් ගැටීමට ගතවන කාලයත් සොයන්න.
\begin{array}{l}V_{B,E}=V_{B,A}+V_{A,E}\\V?\;=\;\downarrow?\;+\;\xrightarrow[u]{}\end{array}
B ගේ චලිත දිශාව වන්නේ v හි දිශාවයි. එනම් නැගෙනහිරින් \cos^{-1}\left(\frac{\displaystyle u}v\right) කෝණයක් දකුණට වූ දිශාවටයි.
ගැටීමට ගතවන කාලය = \frac{\displaystyle d}{\sqrt{\left|V_{B,A}\right|}}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\displaystyle d}{\sqrt{v^2-u^2}}
උදා 3 :
සරල සමාන්තර ඉවුරු සහිත පළල d වන ගගක් අනවරත u ප්‍රවේගයෙන් ගලා බසී. මිනිසකුගේ නිශ්චල ජලයේ පිහිනීමේ ප්‍රවේගය v යෙි. v>u වෙයි. ගගේ එක ඉවුරක ලක්ෂයක් A ද අනෙක් ඉවුරේ ලක්ෂයක් B ද වේ. AB රේඛාව ගග ගලන දිශාව සමග p සුලු කෝණයක් සාදයි. මිනිසා A සිට අරඔා B වෙත සරල රේඛීයව පිහිනා යයි නම් පිහිනිය යුතු දිශාව AB රේඛාව සමග සාදන කෝණය සොයන්න. චලිතයට ගතවන කාලයත් සොයන්න.
V_{A,B} = V_{A,C} + V_{C,B}
ප්‍රවේග ත්‍රිකෝණයට සයින් නීතියෙන්
\begin{array}{l}\frac{\sin\left(p\right)}v=\frac{\sin\left(B\right)}u\\\;\;\;\;\;B=\sin^{-1}\left(\frac{u\;\sin\;p}v\right)\end{array}පිහිනිය යුතු දිශාව AB රේඛාව සමග \sin^{-1}\left(\frac{u\;\sin\;p}v\right) කෝණයක් ආනත දිශාව වේ.
\begin{array}{l}V_{M,E}=u\;\cos\left(p\right)+v\;\cos\left(B\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;=u\;\cos\left(p\right)+\sqrt{v^2-u^2\sin^2\left(p\right)}\end{array}මිනිසාට චලිතයට ගතවන කාලය =\frac{\displaystyle AB}{\left|V_{M,E}\right|}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\frac{\displaystyle d\;cosec\left(p\right)}{\displaystyle\left[u\;\cos\left(p\right)+\sqrt{v^2-u^2\sin^2\left(p\right)}\right]}උදා 4 :
නැගෙනහිර දිශාවට අනවරත u ප්‍රවේගයෙන් සුලගක් හමයි.ගුවන්යානයක නිශ්වල වාතයේ ප්‍රවේගය v වෙයි. v>u වේ. A ගුවන් තොටුපලක සිට නැගෙනහිරින් p කෝණයක් උතුරට වූ දිශාවට d දුරක් චලිත වී ආපසු ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට චලිත වී යානය A වෙත පැමිණේ. චලිත 2 සදහා ගැලපෙන ප්‍රවේග ත්‍රිකෝණ එකම සටහනක නිර්මාණය කර යානයේ මුලු චලිත කාලය සොයන්න. ආපසු හැරවීමේදී යානයේ ඉදිරිපස යොමු කර ඇති දිශාව කවර කෝණයකින් භ්‍රමණය කල යුතු වී දැයි සොයන්න.
V_{P,E}=V_{P,W}+V_{W,E}AB චලිතයට
BA චලිතයට
යානයේ මුලු චලිත කාලය
\begin{array}{l}=\;\frac d{v_1}+\frac d{v_2}\\=d\left[\frac1{\sqrt{v^2-u^2\sin^2\left(p\right)}+u\cos p}\;+\frac{\displaystyle1}{\displaystyle\sqrt{v^2-u^2\sin^2\left(p\right)}-u\cos p}\;\right]\\=\frac{\displaystyle d\left(2\sqrt{v^2-u^2\sin^2p}\right)}{v^2-u^2}\\=\frac{\displaystyle2d\sqrt{v^2-u^2\sin^2p}}{v^2-u^2}\end{array}
යානයේ ඉදිරිපස යොමු කර ඇති දිශාව යනු සුලගට සාපේක්ෂ ප්‍රවේගයේ දිශාවයි. යානය ආපසු හැරවීමේදී එය යොමු කර ඇති දිශාව භ්‍රමණය කල යුතු කෝණය =2B=2\cos^{-1}\left(\frac{u\;\sin p}v\right)
පසුගිය විභාග ප්‍රශ්න
